【中学受験・小4】平均《日能研、予習シリーズ12月内容》

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平均とは、平らに均(なら)すこと。これに尽きる。

平均の基本

超重要例題 
男子と女子合わせて40人が計算テストをしました。全体の平均点は80点で、男子25人の平均点は77点でした。女子の平均点は何ですか。

解答
《面積算のやり方》面積算の方が圧倒的に計算が楽で速いのおススメ。
男子の平均より少ない部分80-77=3点 3点×男子25人分は、女子の飛び出た部分15人と同じになるので、3×25÷15=5点 よって、80+5=85点

4回の算数のテストの平均が81点でした。
次のテストで96点をとると,平均点は何点になるか求めましょう。

解答
96点は、現在の平均81点よりも15点とびぬけている。
このとびぬけている15点が、それぞれ5回分平らに均されるので、15÷5=3
よって、現在の平均81+3=84点

(別解)
4回の合計点
81×4=324

5回の平均は、
(324+96)÷5
=420÷5
=84

84点


輪投げを4回やって,平均が15点でした。
あと1回投げて平均を20点にするには,何点とればよいか求めましょう。

解答
解答方針

過去4回分を+5+5+5+5させなければならない。
さらに5回目で20点とらなければならない。
よって、20+20=40

(別解)
5回の平均がわかっているので、目標から逆算する。
5回の合計-4回の合計をやればよい。

5回の合計
20×5=100

4回の合計
15×4=60

100-60=40点

回数が分からない問題

テストが何回かあり,平均点は76点でした。
次のテストで86点をとると,平均点が2点あがります。
今までに何回テストを受けたか求めましょう。

解答
解答方針

平均の考え方

図で考える。
86点は、現在の平均76点より、10点飛び出る。
この飛び出た10点は、次のテストを含めた今までのテスト回数分わりふられて、結果2点の平均上昇をさせているので、
10÷5=2
5回分割りふることになる。

よって、次のテストを含めず、今までのテスト回数は4回

面積図を自分で補完する

男女合わせて5人の平均点より、女子3人の平均点の方が4点低く、男子2人の点数の和は166点だった。5人の平均点は何点か。

解答
女子の足りていない部分3人×4点=12点が、男子の飛び出た部分の面積と同じになる。
男子は2人なので、12点÷2=6点分平均より上になる。
男子2人の点数の和は166点なので、男子の平均点が166÷2=83点とわかる。
この男子の平均83点より、6点分下へ行けば、5人の平均がわかる。
よって、83-6=77点(答え)

面積を工夫して求める~上と下の平均の差がわかっている場合~

算数テストを受けた全体の平均点は64点で、合格者の平均点は不合格者の平均点より20点上でした。合格者100人、不合格者300人だったとすると、合格者の平均点は何点か。

解答
面積が出せる部分で考えるしかないので、拡大する。*拡大しても同じ面積を利用する。
答えは79点

面積を工夫して求める~平均単価(1枚あたりの平均額)~

アルバムを作るのに最初は3冊セットで1000円です。4冊目からは1冊につき250円かかります。1冊あたりの平均金額を260円以下にするには、合計何冊以上作れば良いですか。

解答
注意:面積を書くときに、タテは平均値なので、1000円としないように。3冊の平均なので、1000÷3円となる。
分数計算となるが、
飛び出た部分のタテ(高さ)は、1000÷3円-260円
よって、飛び出た部分の面積は、(1000÷3円-260円)×3=220円
これが、足りていない部分の面積と同じなので、220円÷10円=22枚 よって、22枚+3冊=25枚以上作る必要がある(答え)
*最初に購入する3冊セットを最後に足し算することを忘れずに。

ヒントを上手く使う

あるテストで、合格基準点を、ある点数に定めてそれ以上を合格することにした。
合格者は、受験者総数の30%で、その合格者だけの平均点は、基準点より10点高く、また、不合格者だけの平均点は基準点より30点低く、また全受験者の平均点は60点だった。このとき、合格基準点は何点か。

解答
注意:面積のタテを平均点としているので、出てくる答えは、平均が出てくる。
基準点のヒントより、合格者の平均と不合格者の平均との差は、10+30=40点とわかる。…上と下の平均の差がわかっている場合パターン
不合格者平均よりも上の部分は、40点×3人=120点分 これが、不合格者の平均点より上の部分(別の見方)の全体10人×□と一致するので、□=12点
この12点は、あくまでもタテの話なので、平均の話である。(基準点をヒントにしたが、ヒントにしただけで、出てきた答えは全体の平均点と不合格者平均との差)
よって、全体平均60点より12点低い48点が不合格者平均であり、これより30点高い78点が基準点となる(答え)

平均とのべ(合計)

ABCDの4人の体重は、異なっていて、AからDの順に重くなっている。2人ずつ体重の平均をとると、ちょうど同じになる組がある。
BとCの平均が42.5㎏、AとCの平均はAとBの平均より1.5㎏重くなっていて、また、ABCの平均をとると、4人の平均より2.5㎏軽い。
このとき、BとDの体重を求めなさい。

解答
まずDについて
AからDの順に重くなっているということはA<B<C<Dであり、2人ずつ体重の平均が同じになるのは、ADの平均=BCの平均(42.5㎏)しかない。よって、ABCDの全員の平均も42.5㎏となる。面積算を使うと、全員の平均より飛び出た部分はD1人の面積で、全員の平均より足らない部分はABC3人の平均の面積となる。よって、Dの体重は、ABC3人×2.5+全体の平均42.5=50㎏(答え)
次にBについて
平均を合計に変換するときは人数分かけ算しなければならない。「AとCの平均はAとBの平均より1.5㎏重い」→2人の平均が1.5㎏重いということは、×2をして、「AとCの合計は、AとBの合計より3㎏重い」と書き換えることができる。式にすると、A+C=A+B+3なので、C=B+3となる。「BとCの平均が42.5㎏」なので、B+C=42.5×2=85㎏ よって、和差算より、(85-3)÷2=41㎏(答え)

平均年齢

ある集団で、2021年の4月の40人の平均年齢は35歳でした。
2022年には5人、2023年には3人が入ってきました。
また、2021年から2023年のすべてにおいて、この集団から抜けた人は誰もいなく、平均年齢も35歳変化しませんでした。
(1)2022年に入ってきた5人の平均年齢は、当時何歳だったか。
(2)2023年に入ってきた3人のうち、2人は年齢が同じで、もう1人は、18歳だった。この2人の年齢は、当時何歳だったか求めましょう。

解答
(1)面積算を使う。最初の40人の平均年齢は1歳増えるので、36歳となる。全体の平均は、35歳と変化しなかったので、求めたい5人の平均年齢は、飛び出た部分40人×1歳=40の面積と同じになるので、40÷5=8 つまり、全体の平均35歳より8歳低かったことになる。よって、2022年当時27歳(答え)
(2)面積算を使う。既存の45人の平均年齢は1歳上がるので、36歳となる。全体の平均は、35歳と変化しなかったので、求める3人の平均年齢は、飛び出た部分45人×1歳=45の面積と同じになるので45÷3=15 つまり、全体の平均35歳より15歳低いことになる。よって、3人の平均年齢は20歳。1人が18歳なので、合計(60歳―18歳)÷2=21歳(答え)

★ポイント
ある集団の平均年齢は、毎年、1歳ずつ増えます。これは、新しい人がその集団に入ってこない限り、その集団の人数に関係なくです。

人数や回数がない問題

ABCの3人の身長の平均は161㎝です。Aの身長は、Cの身長より3㎝高く、AとCの身長の平均はBの身長より6㎝高いです。
このとき、Aの身長は何㎝ですか。

解答
面積算を使わない問題です

人数や回数がない問題は、線分図的に(和差算として)解くと良い。
作図するときにポイントになるのが、AとCの平均は、ちょうどAとCの半分の長さになる。
つまり、Aが一番長く、CはAより3㎝短く、BはAより6㎝+1.5㎝短くなるように作図する。
3人の平均のヒントは、和差算の合計(161×3)として使う。

平均と条件整理

ABCDは、4つの異なる整数です。次のことが分かっているとき、ABCDの数字を答えなさい。
・A<B<C<D
・AとBの平均は、12で、BとCの平均は16
・Aは1けたの数
・BCDの3つの平均は、Cより小さい

解答
面積算を使わない問題です

ABCについて
平均が分かっているので、A+B=24 B+C=32 これらの式を引き算すると、C-A=8 つまり、AとCの差は8だとわかる。
A+B=24 の場合を考えると、Aは1けたなので、9+15、8+16、7+17などが考えられる。
B+C=32 の場合を考えると、AとCの差は8なので、A+B=9+15だとするとCは17でBはちゃんと15となり一致する。(一応、他の場合をやってみると、A+B=8+16だとするとCは16でBは16となり不一致。)よって、Aは9、Bは15、Cは17(答え)
Dについて
BCDの3つの平均は、Cより小さいというヒントから、B(15)<BCDの平均<C(17)という関係がわかる。(平均は整数とは書いてないので16とは限らないので注意。ちなみに平均を16として考えてしまうとD=16と出てくる。) Cは17なので、平均をちょうど17で仮定してみる(本当は17より小さいので、少し小さくすれば答えが出てくる)と、BCDの合計は、17×3=51より、B+C=32なので、Dは19ということになるが、これより小さいので、18が答え。D=18

連続の数の和

全部で15個の樽(たる)を、下から1つずつ数が少なくなるように積み上げていきます。
1段目には何個の樽(たる)が並ぶか、3通りの場合を考えましょう。

解答
2段の場合 15÷2=7.5より、2段の真ん中(平均)が7.5なので、8+7=15 よって、一段目は8個
3段の場合 15÷3=5より、3段の真ん中(平均)が5なので、5を中心とした1つおきの足し算を考えると、4+5+6=15 よって、一段目は6個
4段の場合 解答なし 15÷4=4.25より4段の真ん中(平均)が4.25を中心とした1つおきの足し算を考えると、3+4+5+6=18 よって不適
5段の場合 15÷5=3より、5段の真ん中(平均)が3なので、1+2+3+4+5=15 よって、一段目は5個
よって、答えは8.6.5

★カレンダーなども連続した数なので、この問題と同じような解き方ができます。

学習スケジュール(四ツ谷大塚、日能研)

詳しくはこちらにまとめきましたのでご参照ください。
【中学受験・小4】算数のカリキュラム・スケジュールまとめ・単元・目次一覧《日能研、四谷大塚》