場合の数と確率《典型問題、公式まとめ、なぜそうなるか》

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WEB問題集

問題をクリックすると、解説と解答が表示されます。

集合とその要素の個数

A={ x | xは30以下の素数 }とする。(  )の中に、 $ \in , \notin $ のいずれか適するものを答えましょう。

(1) 1 ( ? ) A
$ 1 \notin A $

1は素数ではないので、要素ではない。

★集合の表し方 A={ x | xの条件 }
★記号 
AはBの部分集合  $ A \subset B $
要素x は集合Aに属する。  $ x \in A $
⇔要素x は集合Aに属さない。 $ x \notin A $

(2) 2 ( ? ) A
$ 2 \in A $

2は素数なので、含む。

{3n-2 | 1 < n < 5 ,nは整数}の集合を,要素を書き並べて表せ。
n=2,3,4を代入すれば良い。
答え { 4, 7 , 9 }

★要素の書き方は、{ }の中にカンマ(,)で区切って書けば良い。

集合{ 1 , 2 }の部分集合をすべて書け。
部分集合とは、集合Aと集合Bについて、どの要素もその要素になってるものをさす。(下図イメージ)

全ての場合を列挙するので、4パターン。
答え { $ \varnothing $ }{ 1 }{ 2 }{1 , 2}

部分集合イメージ

次の集合Aと集合Bについて、 $ A \cap B $ と $ A \cup B $ を求めましょう。
A={ n | nは18の正の約数}
B={ n | nは27の正の約数}
A={ 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18}
B={ 1 , 3 , 9 , 27}

答え:$ A \cap B = {1 , 3 , 9}$ $ A \cup B = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 , 27 }$

*もし、共通部分が無かったら、$ A \cap B = { \varnothing }$ と答えれば良い。

次の集合の要素の個数n(A)を求めなさい。
A={1,4,6,8,10,12,14,15,18}
n(A)=9

倍数の個数

100以下の自然数のうち,5 の倍数 の個数を求めよ。
倍数の個数は、割り算をすればよい。
100÷5=20
20個

*なぜ割り算をすると、倍数の個数がもとめらるのか?

5の倍数を書いてみるとよい。

5×1
5×2

5×20

5が20個あると、100になることがわかる。よって、100を5で割ると、20個という個数がでる。

100以下の自然数のうち,5 の倍数でない数 の個数を求めよ。
全体-余事象(5の倍数)
=100-5の倍数の数
=100-20
=80
より 80個
100以下の自然数のうち,7 の倍数 の個数を求めよ。 
100÷7=14…
よって 14個
100以下の自然数のうち,5 の倍数かつ 7 の倍数 の個数を求めよ。 
かつ
5と7の最小公倍数35の倍数を考える。
100÷35=2…
よって 2個
100以下の自然数のうち, 5 の倍数または 7 の倍数 の個数を求めよ。
5の倍数の個数 + 7の倍数の個数 ー 35の倍数の個数
20+14-2
=32
よって 32個

 

100以下の自然数のうち,5 の倍数であるが,7 の倍数でない数 の個数を求めよ。
図より、5の倍数の個数-共通部分
20-2=18
よって18個

5 の倍数であるが,7 の倍数でない数

場合の数

じゃんけん

A,B の 2 人がじゃんけんをし,どちらかが 3 回勝つまでじゃんけんを続けるとする。
1 回目にAが勝つとき,勝敗のパターンは何通りあるか。
樹形図で考えると良い。
解答:10通り

サイコロ

大中小 3 つのさいころを同時に投げたとき,目の和が 6 になる場合は何通りあるか。
樹形図で考えると良い。

別解
組み合わせ(1 1 4)+(1 2 3)+(2 2 2)
順列 3!÷2! +3! +1 =10

解答:10通り

*一通り解き終わっている人は、別解のように計算で求めた方が良い。

大小 2 つのさいころを投げるとき,目の和が 4 または 5 になる場合の数を求めよ。
和が4になるのは(1,3),(2,2),(3,1)の 3 通り
和が5になるのは(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)の 4 通り

これらは同時に起こらないので,
注意:「または」なので、「和集合の要素の個数」を求め方で共通部分の引き算のチェックを忘れずに。

求める場合の数は 3+4=7(通り)

大小 2 つのさいころを投げるとき,目の和が 4 の倍数 になる場合の数を求めよ。
1,和が 4 になるのは(1,3),(2,2),(3,1)の 3 通り 
2,和が 8 になるのは(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)の 5 通り
3,和が 12 になるのは(6,6)の 1 通り

これらは同時に起こらないので,求める場合の数は 3+5+1=9(通り)

1 個のさいころを 2 回投げたとき,1 回目に偶数の目,2 回目に奇数の目が出る場合は何通りあるか。
1回目に偶数の目が出るのは,2,4,6 の 3 通り
そのどの場合においても,2 回目に奇数の目が出るのは 1,3,5 の 3 通り
よって,求める場合の数は 3×3=9(通り)

約数の個数

360 の正の約数の個数と,その総和を求めよ.
公式チェック(このページの下の方)
360を素因数分解をすると、 $ 3^2 × 2^3 × 5 $

約数の個数は、3×4×2=24
約数の総和は、 $ (3^0 + 3^1 + 3^2)(2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 )(5^0 + 5^1) =13×15×6 =1170 $

順列

$ {}_4 \mathrm{ P }_3 $  の値を求めよ。
4・3・2=24
$ {}_7 \mathrm{ P }_1 $  の値を求めよ。
7
$ {}_7 \mathrm{ P }_0 $  の値を求めよ。
1
*7個の中から0個取り出して並べる方法は 1通り。
$ 5 ! $  の値を求めよ。*この値は良く出てくるので暗記しよう!
5・4・3・2・1
=120
5人の生徒から 2 人を選んで 1 列に並べるときの並べ方 の総数を求めよ。
5P2=5・4=20(通り)
NUMBERという単語のうち 6 個の文字を全部使ってできる文字列 の総数を求めよ。
6 !=6・5・4・3・2・1=720(通り)
1 から 7 までの数字が 1 つずつ書かれた 7 枚のカードのうち,3 枚を選んで A,B,Cの 3 人に 1 枚ずつ配るとき,配り方の総数は何通りあるか。
7 枚のカードから 3 枚選ぶ順列の総数に等しい。
よって 7P3=7・6・5=210(通り)
6個の数字 0,1,2,3,4,5 の中から異なる 4 個を使ってできる 4 桁の奇数は何個あるか。
★制限のある順列
一の位は 1,3,5 の 3 通り
千の位は,0を除いた 4 通り
百,十の位は,残り 4 個の数字から2 個選ぶ順列で 4P2通り
よって 3×4×4P2=3×4×4・3=144(個)
男子 3 人,女子 2 人が 1 列に並ぶとき,両端が男子になるような並び方は何通りあるか。
男子 2 人が両端に並ぶ並び方は 3P2 通り
そのそれぞれに対し,残り 3 人の並び方は 3 ! 通り
よって 3P2×3 !=3・2×3・2・1=36(通り)

「隣り合わない」パターン

男子 4 人,女子 2 人が 1 列に並ぶとき、女子が隣り合わない並び方は何通りあるか.
女子は、隣り合わないために、男子の「間に入れる」ことを考える。

★男★男★男★男★

・男子の並び順は、4!=24
・女子は、5つの★から2か所を選べばよいので、5C2×2!(5P2)=20
よって、24×20=480

別解
全体から女子が隣り合う場合を引き算しても良い。

SAITAMA の 7 文字を 1 列に並べるとき,子音が隣り合わない並べ方は何通りあるか.
母音AIAAを固定して、子音のSTMを「間に入れる」ことを考えると、
母音の並び順 4!÷3! × 子音の並び順は、子音を入れる間は5か所あるので 5P3
=4×60
=240

*子音のSTMを固定してしまうと、例えば子音が両端に来る場合 S A T I A A M などが考えられなくなってしまうので不可。

区別のない文字の順列

a , a , b の3文字を1列に並べる方法は何通りあるか。
解答
3!÷2!=3通り

解説
2!で割り算をする理由:同じ数だけ割り算するから。以下詳細説明。
区別があると考えると、6通り。
a1 a2 b
a2 a1 b
a1 b a2
a2 b a1
b a1 a2
b a2 a1
しかし、実際にはa1 a2は同じ。a1 a2の順列の分(2!)だけ同じものがあるので、割り算を行う。

6 個の数字 1, 1, 1, 2, 3, 4 を 1 列に並べて 6 桁の整数を作るとき,3 が 4 より左側にある並べ方は何通りあるか.
並び順が決まっているものは、同じ文字として考えて、あとから自由に入れる形にする。
つまり、3と4を同じ文字★とする。
6個の文字1, 1, 1, 2, ★, ★の順列は、6!÷3!÷2!=60
よって答え60通り
図のような道のある町で,A から B までの最短経路のうち,P を通り,×を通らない ものの総数を求めよ.
★Pを通る道順すべてから✕を通ってしまう道順を引き算する方法

Pまでの道順は、上上右右の4つの記号の順列なので、4!÷2!÷2!=6 *最短で4マスで、上(右)を2マス選べば自動的に残りの右(上)が決まるので、4C2=6でも良い。
PからBまですべての道順は、上上上右右右右の順列なので、7!÷3!÷4!=35
よって、Pを通る道順すべては、6×35=210

✕を通ってしまう道順は、
Pまでの道順4!÷2!÷2! × 右の1通り × 右の1通り × 右右上上上の順列 5!÷2!÷3!
=6×1×1×10
=60

よって 210-60=150通り

最短経路

図のような道のある町で,A から B までの最短経路のうち,P または Q を通る ものの総数を求めよ.
★和集合の求め方(共通部分の引き算を忘れずに!)

Pを通る + Qを通る – PかつQを通る
=4!÷2!÷2!×6!÷3!÷3! + 7!÷4!÷3!×3!÷2! – 4!÷2!÷2!×3!÷2!×3!÷2!
=120+105-54
=171

最短経路

図のような道のある町で,最短経路は全部で何通りあるか.

★図に書き込んでいくやり方

最短経路の解き方

★計算によるやり方(排反なものを足し算していく)
図のA~Dは互いに排反(Aを通りつつBも通れるとかない)
これらの点の見つける方法は特になく考えるしかない。

Aを通る 最短距離でQをねらっていくので、1通りしかない。
Bを通る 4C1・4C1=16
Cを通る Cを通るには手前のAの左隣りを通り、上に行き、Qへ 3C1・1・3C1=9
Dを通る 4C1・4C1=16
Eを通る 最短距離でQをねらっていくので、1通りしかない。
よって、1+16+16+9+1=43通り

最短経路の解き方(排反の計算)

最短経路の難しめの問題

mathematics という 11 文字から 4 文字を取って並べる方法は何通りあるか.
★11P4とやりたいところだが、同じ文字が含まれるので、場合分けをする必要がある。場合分けの仕方として、「重複」度合で行うと良い。

mm tt aa heics

同じ種類のもの2つずつ選んで(〇〇✕✕)、これらを並べる
mとaとtの3つから2つを選ぶので3C2=3
選んだもの(〇〇✕✕)を並べるので、4!÷2!÷2!=4C2=6
よって、3・6=18

同じ種類のもの1つと、違う種類2つを選んで(〇〇✕△)、これらを並べる
〇〇の選び方は、m a tの中から1つなので、3C1=3パターン
mを選んだとして、残りの2つの選び方は、違う文字7文字(t a h e i c s)から2つ選ぶので7C2=21通り
選んだ後、〇〇✕△を並べるので、4!÷2!=12
よって、3・21・12=756

すべて違う文字を選んで(〇✕△◎)、これらを並べる
mtaheicsの8文字から4文字選んで並べるので、8P4=1680

よって、18+756+1680=2454

DEFENSEの7文字から4文字を取って並べる方法は何通りあるか.
EEE DFNS

★7P4とやりたいところだが、同じ文字が含まれるので、場合分けをする必要がある。場合分けの仕方として、「重複」度合で行うと良い。

すべて異なる文字場合(E D F N S)
5文字から4文字を並べるので、5P4=120

Eが2つ含まれる場合(E E 〇✕)
まず組合せを考えると、EEは確定しているので1通り。残りの2文字は、E以外の4文字から選ぶ 4C2=6
*別解:6通りくらいなら樹形図で数えてもよい(EEDF)(EEDN)(EEDS)(EEFN)(EEFS)(EENS)
これら4文字を選んだ後の順列、つまり並べ方を考えると、4!÷2!=12
よって、選び方・並べ方=6・12=72

Eが3つ含まれる場合(E E E 〇)
まず組合せを考えると、(EEED)(EEEF)(EEEN)(EEES)の4通り
これら4文字を選んだ後の順列、つまり並べ方を考えると、4!÷3!=4
よって、選び方・並べ方=4・4=16

よって、120+72+16=208

YOKOHAMAの8文字を1列に並べるとき、Y K H M がこの順にあるものは何通りあるか。
Y K H M を同じ文字★にして、、★O★O★A★A の順列を求めればよい。(並べ替えた後、★の部分を自分の思い通りに「Y K H M 」に戻せばよい)

8!÷4!÷2!÷2!=420

4桁の自然数n の千の位,百の位,十の位,一の位の数字を,それぞれa,b,c,dとする。a > b > c > d の条件を満たす n は全部で何個あるか。
0〜9の10個の数字から異なる4個を選べばよい。(選んだ後は、自分の思い通りに大きいものから順にa b c dとすると条件を満たすnができる。)

10C4=210

4桁の自然数n の千の位,百の位,十の位,一の位の数字を,それぞれa,b,c,dとする。a ≧ b > c > d の条件を満たす n は全部で何個あるか。
a > b > c > d の場合
上記問題と同じなので、10C4=210

a = b > c > d の場合
「★★〇△」:異なる3種類の文字を0〜9の10個の数字から選べばよい。(選んだ後は、一番大きい数字★を百の位と千の位とする作業を自分ですればいい。)
10C3=120

よって、210+120=330個が正解

円順列

A,B,C,D,E の 5 人が円形に並ぶとき,並び方の総数 を求めよ。
円順列の公式チェック(ページの下の方にあります。)

1人(誰でも良い)を固定すると,求める場合の数は残りの 4 人の順列である。
よって 4 !=4・3・2・1=24(通り)

A,B,C,D,E の 5 人が円形に並ぶとき,A と B が隣り合う並び方の総数 を求めよ。
A と B 2人をまとめて 1 組と考えて,4人を考える。
この4人のうち、1人を固定して(誰でも良い)、残り3人の順列を考えればよい。

よって、A と B の順列(2!)×残り3人の順列より、 3 !×2 !=3・2・1×2・1=12(通り)

両親と子供 4 人の 6 人が円形のテーブルに向かって座るとする.
両親が隣り合わない座り方は何通りあるか.
①全体から引き算する方法か、②「間に入れる」方法のどちらかの解き方がある。
どの解き方でも良いが、数学は考え方が大事。

① 全体5! – 親が隣り合う 4!×2 =72通り。

②「間に入れる方法」は、誰でも良いので固定する人を決める。
・子供を固定すると、子供の並び順3!× 親の入り方4P2 よって、72通り。
・親を固定すると、子供の並び順4! × 親の入り方3P1 よって、72通り。

父,母,息子 2 人,娘 2 人が円形のテーブルに向かって座るとする.
女性が隣り合わない方法は何通りあるか.
「間に入れる」方法
・女性のうちだれかを固定する。男性の並び順は 3! 女性が隣り合わないような男性の間2か所に女性を入れるので、2P2 よって、3!×2P2=12通り。
・男性のうちだれかを固定する。男性の並び順は 2! この男子の間3か所に女性を入れるので、3P3 よって、2!×3P3 =12通り。

全体から女性が隣り合う場合を引き算する方法
女性が隣り合うパターンは
①3人のうち2人だけ隣り合う 全体の並びは4! × 隣り合う女性を3人から選んで並べる組み合わせ3C2
②3人とも隣り合う 女性が隣り合う(女性を固定) 3! × 男性の並び順 3!
全体5! – ①72 -②36
=120−108
=12

父,母,息子 2 人,娘 2 人が円形のテーブルに向かって座るとする.
両親が向かい合う方法は何通りあるか.
両親のどちらかを固定すると、必然的に向かい側にもう一方の両親も固定される。*ここで並び順を考えない。×2とかしない。固定するので。
残りの4人の順列になるので、4!=24通り。
6 人の家族を6 人から 4 人選んで円形のテーブルに座らせる方法は何通りあるか.
「6 人から 4 人選ぶ」→ 6C4=15
「選んだ4人の円順列」→ (4-1)!=6
よって、15・6=90通りが正解。

別解
6人から4人を選んで並べる 6P4=360
しかし、円形に並べるので、重複するものを消さないといけない。どのくらい重複するのかは、4人なので、それぞれ4パターン出てくる(aが北、aが東、aが南、aが西)。
よって、360÷4=90通り

6 人の家族を図のようなテーブルに座らせるに座らせる方法は何通りあるか.
★円順列のポイントは、「回転させると同じものが出てきてしまうので、割り算をして重複を解消」する点にある。
*公式の(nー1)!もこの理由による(6人の円順列なら、6通り同じものが出てくるので÷6をする。よって、6!÷6=5!)。

この問題の場合、テーブルごと回転させてみて同じものになるものを考えると、対称の位置の2通りしかない。
6!÷2=360

円順列 テーブル2

円順列 テーブル

黒玉 1 個,赤玉 2 個,白玉 4 個がある.机の上に円形に置いて並べるとき,並べ方は何通りあるか.
★円順列のポイントは、「回転させると同じものが出てきてしまうので、割り算をして重複を解消」する点にある。

黒玉1個を固定すると、残りの赤玉 2 個,白玉 4 個(合計6個)の順列を考えれば良いので、6!÷4!÷2!=15通り *6C2=15でも良い。

別解
・黒玉ではなく、赤球を固定する。本来、基本問題であれば、固定したらいくら回転させても同じものが出ないが、赤が2個あることで、2つずつ重複する場合が出てきてしまう。
よって、残りの黒玉1個、赤球1個、白球4個の順列 ÷2
=6!÷4!÷2
=15通り

固定しても同じ図形 (2)

・同様に、黒玉ではなく、白球を固定しても4個あるので、同じものが4つずつ出てきてしまう。
よって、残りの黒玉1個、赤球2個、白球3個の順列÷4
=6!÷2!÷3!÷4
=15通り

固定しても同じ図形 (1)

じゅず順列

異なる 6 個の球をつなげて首飾りを作ると何通りできるか。
じゅず順列の公式をチェック(ページの下の方にあります。)
円順列÷2をすれば良い。

異なる 6 個の球を円形に並べる方法は 5 ! 通り
これを首飾りにしたとき,裏返すと同じ並び方になるものが 2 通りずつあるので、÷2をする。
5 !÷2==60(通り)

黒玉 1 個,赤玉 2 個,白玉 4 個がある.糸を通して首飾りを作るとき,何通りの首飾りができるか.
★じゅず順列で÷2をする理由は、重複するから÷2をする。もし、同じ文字(線対称)がある円順列の場合、線対称はじゅず順列にしても重複しないので、÷2はしない。
たとえば、(a b b )の円順列は、1通り。この円順列をじゅずにしても重複がないので1通り(÷2をしてはいけない。)

まず円順列を考えると、黒を固定して、残りの赤玉 2 個,白玉 4 個(合計6個)の順列なので、6!÷4!÷2!=15通り。
この中で、線対称はじゅず順列にしても重複しないので、÷2をしないものとなる。線対称を排除してから÷2を行う。
よって、線対称は、3パターン。

円順列で線対称はじゅずにしても重複しない

15-3=12

残りの
12通りは線対称ではないので、じゅずにすると重複する。よって、12÷2=6通りが答え。

白玉1個,赤玉4個,青玉6個で環状の首飾りを作る。作り方は全部で何通りあるか。
★まず円順列を考え、じゅず順列(重複するものを÷2)を考える。そのときに、線対称なものは、じゅず順列にしても重複がないので÷2ができない。線対称なものを引き算してから÷2をする。最後に線対称なものを足し算するのを忘れずに。

まず円順列を考えると、
白球を固定する。残りの10個(赤玉4個,青玉6個)の順列となるので、10!÷4!÷6!=210

次に線対称なものを考えると、10通り

じゅず順列(線対称)

じゅず順列を考えると、
(210-10)÷2=100
最後に線対称なものを足し算するのを忘れずに 100+10=110 これが正解

白玉1個,赤玉4個,青玉6個で環状の首飾りを作る。どの2個の赤玉も隣り合わないことにすると,作り方は何通りあるか。
★まず円順列を考え、じゅず順列(重複するものを÷2)を考える。そのときに、線対称なものは、じゅず順列にしても重複がないので÷2ができない。線対称なものを引き算してから÷2をする。最後に線対称なものを足し算するのを忘れずに。

まず円順列を考えると、
白球を固定する。隣り合わないパターンは、「間に入れる」ことを考える。
図より、7C4=35 …順列でもある。

じゅず順列

次に線対称なものを考えると、
3C2=3

じゅず順列(線対称)2

じゅず順列を考えると、
(35-3)÷2+3=16+3=19 これが正解

重複(ちょうふく)順列

5問の問題の解答を○か×で答えるとき,5 問の○,×の答え方は何通りあるか。
問題ごとの答え方はそれぞれ○,×の 2 通り。
よって,求める場合の数は  $ 2^5=32(通り) $
0,1,2,3 の 4 個の数字を,重複を許して使って整数を作るとき, 4 桁の整数 は何個できるか。
千の位は 0以外の の 3 通り
それ以外の位は4通り
よって,求める個数は  $ 3×43=192(個) $
0,1,2,3 の 4 個の数字を,重複を許して使って整数を作るとき, 4 桁の偶数 は何個できるか。
千の位は 0以外の の 3 通り
一の位は 0,2 の 2 通り
残りの位はそれぞれ 4 通り
よって,求める個数は  $ 3×2×42=96(個) $
7 種類の異なる果物がある.これらを組み合わせて最大 7 個の果物が入ったセットを1 つ作りたい.何通りのセットができるか.ただし,最低でも 1 つの果物は入れることとし,同じ種類の果物を 2 個以上入れないものとする.
7種類の果物すべてに、【セットに入れるか、入れないか】の2パターンがある。
つまり、 $ 2^7 = $ 通り。
ただし,最低でも 1 つの果物は入れるの、すべて入れない(0個)の1パターンを除く。

よって、127通り

組合せ

次の値を求めよ。 $ {}_8 \mathrm{ C }_3  $
=56
次の値を求めよ。$ {}_6 \mathrm{ C }_4  $
$ {}_6 \mathrm{ C }_2 $ と同じ。なぜなら、4つ選ぶと自動的に2つ決まるのと同じように、逆に2つ選ぶと残りは自動的に4つに決まるため。
=15
次の値を求めよ。$ {}_5 \mathrm{ C }_1 $
=5
次の値を求めよ。$ {}_5 \mathrm{ C }_0 $
=1 *5個の中から0個選ぶ=何も選ばないという1通りが答え。
10 人の生徒から 4 人を選ぶときの選び方 の総数を求めよ。
$ {}_10 \mathrm{ C }_4 =210 $
正六角形の 6 個の頂点のうち,3 点を結んでできる三角形 の総数を求めよ。
$ {}_6 \mathrm{ C }_3 = 20 $
男子 7 人,女子 5 人の中から 3 人を選ぶとき,男女問わず 3 人選ぶ 選び方はそれぞれ何通りあるか。
$ {}_12 \mathrm{ C }_3 = 220 $
男子 7 人,女子 5 人の中から 3 人を選ぶとき,男子 1 人,女子 2 人を選ぶ 選び方はそれぞれ何通りあるか。
男子の選び方は $ {}_7 \mathrm{ C }_1 $
女子の選び方は $ {}_5 \mathrm{ C }_2 $
よって,求める選び方は $ {}_7 \mathrm{ C }_1 * {}_5 \mathrm{ C }_2 = 70 $
男子 7 人,女子 5 人の中から 3 人を選ぶとき,男子が少なくとも 1 人含まれるように選ぶ 選び方はそれぞれ何通りあるか。
★「少なくとも~である」場合の数
(全体の総数)-(~ではない場合の数の総数:排反)

男子が 1 人も選ばれないのは,女子 5 人から 3 人を選ぶときで $ {}_5 \mathrm{ C }_3 $
よって,求める場合の数は $ 220-{}_5 \mathrm{ C }_3 = 210 $

男子 6 人,女子 4 人から ある特定の 1 人 a を含むように4 人選ぶ方法は何通りあるか.
誰かは分からないが1人が確定するので、残り9人の中から3人を選ぶことになる。
よって、9C3=84
男女ともに 5 人の合計 10 人から 5 人を選ぶ.男子 3 人,女子 2 人を選び,1 列に並べる方法は何通りあるか.
まず選ぶパターンは、男子5人から3人選ぶので5C3 × 女子5人から2人選ぶので5C2
=10×10
=100

5人選んだ後、並べるので、5!=120

よって、100×120=12000

正六角形について,正六角形の頂点のうちの 3 個を頂点とする三角形ののうち,もとの正六角形と辺を共有しないものの個数を求めよ.
★計算によってもとめる方法 *計算によって求めるとしても、図を書いてイメージすると良い。
まず正六角形の頂点をつかってできる三角形の総数は、6C3=20
1辺を共有しているものが各辺2個ずつあるので12個
2辺を共有しているものが6個
よって、20-12-6=2

★図を書く方法
図より2個
正六角形について,正六角形の頂点のうちの 3 個を頂点とする三角形ののうち,もとの正六角形と辺を共有しないものの個数

6 個の数字 0,1,2,3,4,5 から異なる 3 個を用いて 3 桁の整数をつくる.3 の倍数のものは何個できるか.
★組合せを考えて、順列を考える方法
3の倍数になるのは、各位を足して3の倍数になる場合なので、以下の7組ある。
各位を足して3 になるのは、(0 1 2)
各位を足して6 になるのは (0 1 5) (0 2 4) (1 2 3)
各位を足して9 になるのは、(0 4 5) (1 3 5) (2 3 4)
各位を足して12 になるのは、(3 4 5)

これら7組の順列を考えると、

(0 1 2)の順列を考えると、2・2=4
(0 1 5)の順列を考えると、2・2=4
(0 2 4)の順列を考えると、2・2=4
(1 2 3)の順列を考えると、3!=6
(0 4 5)の順列を考えると、2・2=4
(1 3 5)の順列を考えると、3!=6
(2 3 4)の順列を考えると、3!=6
(3 4 5)の順列を考えると、3!=6
よって、16+24=40通り

自然数 n,r に対して, $ {}_n \mathrm{ C }_r = {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} + {}_{n-1} \mathrm{ C }_r $ が成り立つことを証明せよ.
$ {}_n \mathrm{ C }_r $ とは、n個の異なるものから r 個を選ぶ場合の総数である.
そして、特定の自然数の選び方は、ある数を選ぶ場合と選ばない場合の2通りだけなので、これら2つの場合を考える。

特定の自然数、たとえば1を選ぶ場合、残りのn-1個の中からr-1個選ぶことになるので、 $ {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} $ 通り
特定の自然数、たとえば1を選ばない場合、1を除く残りのn-1個の中からr個選ぶことになるので、 $ {}_{n-1} \mathrm{ C }_r $ 通り

したがって、$ {}_n \mathrm{ C }_r = {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} + {}_{n-1} \mathrm{ C }_r $

組分け

8 個の異なるお菓子を 5 個,2 個,1 個の 3 組に分ける 方法は何通りあるか.
組分けの問題は、その組に「区別ある場合」と「区別なしの場合」で計算方法が異なる。
「区別なしの場合」は、重複する分を割り算する必要がある。

★「5 個,2 個,1 個」という組は区別ができる場合として考える。

計算を簡単にするために後ろから

8個から1個選び 8C1=8
残りの7個から2個選ぶと 7C2=21
自動的に残りの5個の選び方は 1通り
よって、8×21=168通り

*最初から順番に 8C5×8C2=168 でも良い。

8 個の異なるお菓子を 2 個ずつ 4 人の子供に分ける 方法は何通りあるか.
組分けの問題は、その組に「区別ある場合」と「区別なしの場合」で計算方法が異なる。
「区別なしの場合」は、重複する分を割り算する必要がある。

★問題文に「4人の子供」とあるので、子供は一人ひとり違うから、4つを区別して考える。
8個から2個選び 8C2
残りの6個から2個選び 6C2
さらに残りの4個から2個選ぶと 4C2
最後は1通り
よって、8C2×6C2×4C2=2520

8 個の異なるお菓子を 4 個ずつ 2 組に分ける 方法は何通りあるか.
組分けの問題は、その組に「区別ある場合」と「区別なしの場合」で計算方法が異なる。
「区別なしの場合」は、重複する分を割り算する必要がある。

★「2組」とあるので、2つを区別なしで考える。区別なしの場合、重複する分があるので、割り算する必要がある。
8個の中から4個選べばよいので 8C4
残りは自動的に 1通り
2組なので、重複する分は2!なので、2!で割り算する
よって、8C4÷2!=35

9 人を 5人,2 人,2 人の 3 組に分ける方法は何通りあるか.
組分けの問題は、その組に「区別ある場合」と「区別なしの場合」で計算方法が異なる。
「区別なしの場合」は、重複する分を割り算する必要がある。

★「3組」と書いてあるので、「区別なしの場合」であり、同じ人数のクラスのみ重複が生まれる。(2人2人の部分)
9人から2人選ぶ 9C2
残りの7人から2人選ぶと 7C2
さらに残りは自動的に 1通り
この2クラスは重複するので、÷2!
よって、9C2×7C2÷2!=378

*最初に9人から5人選び、残りの4人から2人選ぶ計算でもよい。 9C5×4C2÷2!=378

8 人の子供を2 人,2 人,2 人,1 人,1 人の 5 組に分ける方法は何通りあるか.
組分けの問題は、その組に「区別ある場合」と「区別なしの場合」で計算方法が異なる。
「2 人,2 人,2 人」の部分は区別がなく、また「1 人,1 人」の部分も区別がない。
8C2・6C2・4C2 ÷3!÷2!=420が正解
*6 個の異なる玉(①②③④⑤⑥)をA,B 2 つの箱に分ける方法は何通りあるか.ただし,空箱がないようにするものとする.
★2つに分けるが、その個数が決まっていないので、「〇の中から◎個選ぶ(C)」という計算ができない。また6個の異なる玉(①②③④⑤⑥)なので、「仕切りを使う(重複組合せ)」もできない(①②|③④⑤⑥ → ①③は?)。よって、「AかBか」という2通りの重複順列の問題として解く。

6個それぞれが「AかBか」という2パターンの可能性があるので、 $ 2^6 = 64 $ しかし、空箱がないようにするので、Aが空とBが空という2通りを引き算して、62通りが答え。

*6 個の異なる玉(①②③④⑤⑥)を2 つに分ける方法は何通りあるか.ただし,空箱がないようにするものとする.
★2つに分けるが、その個数が決まっていないので、「〇の中から◎個選ぶ(C)」という計算ができない。また6個の異なる玉(①②③④⑤⑥)なので、「仕切りを使う(重複組合せ)」もできない(①②|③④⑤⑥ → ①③は?)。よって、「AかBか」という2通りの重複順列の問題として解く。

(1)との違いは、「AB」という区別がついていないので、同じ組み合わせが出てくる。例えば、(①②③|④⑤⑥)と(④⑤⑥|①②③)が重複する。
よって(1)÷2!をすれば良い。62÷2!=31通りが答え。

*6 個の異なる玉(①②③④⑤⑥)をA,B,C 3 つの箱に分ける方法は何通りあるか.ただし,空箱がないようにするものとする.
★3つに分けるが、その個数が決まっていないので、「〇の中から◎個選ぶ(C)」という計算ができない。また6個の異なる玉(①②③④⑤⑥)なので、「仕切りを使う(重複組合せ)」もできない。よって、「AかBかCか」という重複順列として解く。

6個それぞれ「AかBかCか」という3パターンの選択肢があるので、 $ 3^6=729 $
空箱がないようにするので、空箱が2つの場合は【ABが空で残りの6個すべてC、ACが空で残りの6個すべてB、BCが空で残りの6個すべてA】の3パターン、空箱が1つの場合は【Aが空箱でBCに6個の玉が入る62パターン、Bが空箱でACに6個の玉が入る62パターン、Cが空箱でBAに6個の玉が入る62パターン】合わせて186パターンを引き算をする。

よって、729-3-186=540通りが正解。

重複組合せ

りんご,みかん,メロンの 3 種類の果物から,重複を許して 6 個を取る組合せは何通りあるか.ただし,1 つも取らない果物があってもよいとする.
★計算によって解く方法
公式
$ \displaystyle {}_n H_k = {}_{n+k-1} C_k = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $
$ = \displaystyle {}_3 H_6 = {}_{3+6-1} C_6 = {}_{3+6-1} C_6 = {}_8 \mathrm{ C }_2 = 28 $

別解
★6個取るという個数は決まっているが、分け方の種類が決まっていない場合は仕切りを使うと良い。仕切りの数は、3種類なら2個、つまりn-1した数になる。
〇〇|〇〇〇|〇 仕切り2個と6個の記号の順列を考えれば良い。
*3 カ所の〇の個数を,左から順にりんご,みかん,メロンの個数とする。

よって、8!÷6!÷2!=28

桃 5 個を 7 人に分ける方法は何通りあるか.ただし,桃を 2 個以上もらう人や,1 個ももらわない人がいてもよい.
★5個取るという個数は決まっているが、分け方の種類が決まっていない場合は仕切りを使うと良い。仕切りの数は、7人なら6個、つまりn-1した数になる。
5個+6個の仕切りの順列を考える。
よって、11!÷5!÷6!=462
等式 ×+y+z=7 を満たす負でない整数x,y,zの組は,全部で何個あるか。
★計算で求める方法
「3種類の文字 x y z から重複を許して7個とる」という重複組合せの問題と考えることができる。
たとえば、xを3個、yを3個、zを1個とると、合計7個の文字をとったことになる。

公式
$ \displaystyle {}_n H_k = {}_{n+k-1} C_k = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $
$ = \displaystyle {}_3 H_7 = {}_{3+7-1} C_7 = {}_9 \mathrm{ C }_2 = 36 $

別解
★組合せと順列で考える方法
組合せを考えると、
(1 1 5)(1 2 4)(1 3 3)(1 6 0)(2 2 3)(2 5 0)(3 4 0)(7 0 0)
これらの順列を考えると、
(1 1 5)=3!÷2!=3
(1 2 4)=3!=6
(1 3 3)=3
(1 6 0)=6
(2 2 3)=3
(2 5 0)=6
(3 4 0)=6
(7 0 0)=3
3・4+6・4=12+24=36 これが正解

別解
★しきりの問題として考える
「7個の1(1+1+1+1+1+1+1)をしきり2つ||を使った順列」の問題として考えることができる。
9!÷7!÷2!=36

あるいは、9か所の場所(〇〇〇〇〇〇〇〇〇)に、7個の「1」と、2つのしきりを入れる問題として考えることができる。
よって、9C2=36
*7個の「1」の間(8か所の場所)に、2つのしきりを入れるとして考えると、0+0+7などを考えることができないので不可。

等式 x+y+z=12 を満たす正の整数x,y,zの組は,全部で何個あるか。
★公式の問題として考える
正の整数なので0は含まれないことから、公式の問題として考える場合も必ず1つはxyzを使うようにする。
確定でxyzの1つずつ使うので、
残りの「9個をxyzの3種類のものから、重複を許して選ぶ問題」として考えることができる。

公式
$ \displaystyle {}_n H_k = {}_{n+k-1} C_k = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $
$ = \displaystyle {}_3 H_9 = {}_{3+9-1} C_9 = {}_11 \mathrm{ C }_2 = 55 $

★しきりの問題として考える
正の整数なので0は含まれないことから、しきりとして考える場合も必ず1つはxyzを使うようにする。
確定でxyzの1つずつ使うので、
残りの9個(1+1+1+1+1+1+1+1+1)としきり2個||の順列を考えればよい。

よって、11!÷9!÷2!=11・10÷2=55

★しきりの問題として考える
正の整数なので0は含まれないことから、しきりとして考える場合も必ず1つはxyzを使うようにする。
12個(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1)の間にしきりを入れる考え方をして、11C2をすれば良い。

★組合せと順列で考える方法もある
足し算で12になる組合せ(1 2 9)などを考えたあとに、順列を考えれば良い。

1個のさいころを3回投げて出る目の数を順にa,b,cとする。a≦b≦c になる場合は何通りあるか。
★重複組合せの公式の問題として考える
「1~6の目という6種類の数字から、3つ重複を許して取り出す問題」として考えことができる。

公式
$ \displaystyle {}_n H_k = {}_{n+k-1} C_k = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $
$ = \displaystyle {}_6 H_3 = {}_{6+3-1} C_3 = {}_8 \mathrm{ C }_3 = 56 $

別解
★組合せの問題として考える
a<b<cの場合は、6つの目から3つ選べばよい(選んだ後は自分で好きに並べる) 6C3=20
a=b=cの場合は、(1 1 1)(2 2 2)…の6通りしかない
a=b<cの場合は、6つの目から2つ選べばよい(選んだ1つを自分でa=bにすればいい) 6C2=15
a<b=cの場合は、6つの目から2つ選べばよい(選んだ1つを自分でb=cにすればいい) 6C2=15
よって、20+6+15+15=56

確率

場合の数では重複するものを排除していたのに、なぜ確率だと全てを区別して考えるのか?
議論の実益
赤 青 青の玉の順列(場合の数)を考えると、3!÷2!=3パターン 
つまり、場合の数としては、(赤青青)(青赤青)(赤青青)の3パターンのみとして考えてきた。(見かけ上、青色で同じだから)
しかし、実際は、たとえば(赤青1青2)(赤青2青1)は、別々に出る可能性があり、青1と青2は、見かけ上同じだからといって、重複すると考えて排除してしまうと、正確な確率を出すことはできない。

もっとわかりやすい例(当たり1本、外れ100本のくじの中から1本選ぶ場合の数)
場合の数→上と同じように考えると、見かけ上はずれくじは区別できないので重複すると考えると、くじのパターンとしては「当たり」と「外れ」の2通りしかない。
それでは、当たる確率は $ \frac{1}{2} $ ??
確率→見かけ上重複するものであっても、「そのパターンの頻度」が知りたいので、すべて区別して考える。よって当たる確率は $ \frac{1}{101} $

3 つのさいころを同時に投げるとき,目の和が 5 になる確率を求めましょう.
分母は6×6×6=216

和が5になる組合せは、(1 1 3)(1 2 2)

この順列を考えると、
(1 1 3)→3!÷2!=3通り
(1 2 2)→3!÷2!=3通り

よって、 $ \frac{6}{216} = \frac{1}{36} $

1個のさいころを3回投げるとき,何回目かにその回の番号と同じ目が出る確率 の確率を求めよ。
1回目に「1の目」、2回目に「2の目」、3回目に「3の目」が出れば良いということ。

★場合分けの考え方
さいころの確率

★余事象の考え方

サイコロの確率

1個のさいころを3回投げるとき,どの回にもその回の番号と同じ目が出ないで,しかも1の目が1回も出ない確率 の確率を求めよ。
サイコロの確率2
HIROSI の 6 文字を 1 列に並べるとき,母音と子音が交互に並ぶ確率を求めましょう.
分母は、6!=6×120=720
*5!=120は暗記しよう。
*確率は場合の数と違って、同じものがあっても区別して考える。「I」が重なるからといって、÷2!はやらないように。

分子は、母子母子母子+子母子母子母の2パターン
母子母子母子→3!×3!=36
子母子母子母→3!×3!=36

よって $ \frac{72}{720} = \frac{1}{10} $

SAPPORO の 7 文字を 1 列に並べるとき,母音と子音が交互に並ぶ確率を求めよ.
母音はAOO
子音はSPPR

交互になる場合は、子母子母子母子しかない。
4!×3!

分母は7!
*確率は場合の数と違って、同じものがあっても区別して考える。「OO」や「PP」が重なるからといって、÷2!はやらないように。

よって、$ \frac{4!×3!}{7!} = \frac{1}{35} $

aのカードが 5 枚,bのカードが 4 枚,cのカードが 3 枚,合計 12 枚のカードがある.
この中から同時に 3 枚のカードを取り出すとき,3 枚中 2 枚のみ同じ数のカードである確率を求めよ.
★2枚を直接求める方法
分母
12C3=220

分子
aが同じ 5C2 × 残りa以外の1枚 7C1 = 10*7 =70
bが同じ 4C2 × 残りb以外の1枚 8C1 = 6*8 =48
cが同じ 3C2 × 残りc以外の1枚 9C1 = 3*9 =27
70+48+27=145

よって、$ \frac{145}{220} = \frac{29}{44} $

★余事象を使った方法
「3 枚中 2 枚のみ同じ数」という事象は「3 枚のカードの数がすべて同じ または すべて異なる」という事象の余事象

3 枚のカードの数がすべて同じ
3枚ともa 5C3=10
3枚ともb 4C3=4
3枚ともc 3C3=1
10+4+1=15

3 枚のカードの数がすべて異なる 
5C1×4C1×3C1=60

$ 1-\frac{75}{220} = \frac{145}{220} = \frac{29}{44} $

じゃんけんの確率

3 人で 1 回じゃんけんをするとき,1 人だけが勝つ確率 を求めよ.
分母
3人がそれぞれグーチョキパー3種類の出し方があるので、3×3×3=27

分子
3人のうちの1人の選び方 3C1 × 勝ち方(グーチョキパー)3パターン
3×3

よって、$ \frac{1}{3} $

★じゃんけんは、【だれが?×どんな手で?】で分子を求める。

3 人で 1 回じゃんけんをするとき,あいこになる確率 を求めよ.
★じゃんけんは、【だれが?×どんな手で?】で分子を求める。

分母
3人がそれぞれグーチョキパー3種類の出し方があるので、3×3×3=27

分子
全員がグー、全員がチョキ、全員がパーの3通り
全員がそれぞれグーチョキパーの6通り
(グー チョキ パー)(グー パー チョキ)
(チョキ グー パー)(チョキ パー グー)
(パー グー チョキ)(パー チョキ グー)
全部で9通り

よって、$ \frac{1}{3} $

★余事象で計算しても良い。
1-1人が勝つ確率-2人が勝つ確率
=1-【3人のうちの1人の選び方 3C1 × 勝ち方(グーチョキパー)3パターン】-【3人のうち2人の選び方3C2 × 勝ち方3パターン】
=$ \frac{1}{3} $

A,B,C,D の 4 人で 1 回じゃんけんをするとき,A だけが負ける確率を求めよ.
Aがグーのとき、全員パー
Aがチョキのとき、全員グー
Aがパーのとき、全員チョキ
3パターンのみ

よって、$ \frac{3}{3×3×3×3} = \frac{1}{27} $

A,B,C,D の 4 人で 1 回じゃんけんをするとき,あいこになる確率を求めよ.
★余事象を使った計算方法

1-3人が勝つ確率-2人が勝つ確率-1人が勝つ確率
=1 -4C3×3 /81 -4C2×3 /81 -4C1×3 /81

よって、$ \frac{13}{27} $

★余事象を使わない方法
あいこになるのは、
全員同じ手 グーチョキパーの3通り
3人が違う手(2人が同じ手になる) 同じ手の人を4人の中から2人を選んで 5C2 × それぞれ違う手になる3!
=6*6
=36
よって、あいこになるのは、3+36=39通り

確率は、$ \frac{39}{81} = \frac{13}{27} $

独立な試行の確率

発芽率80%の種Aと,発芽率75%の種Bを1粒ずつ花壇に植えたとき,A, Bのうち少なくとも一方が発芽する確率を求めよ。
独立な試行の確率(教科書例題)

反復試行

同じ条件のもとで,同じ試行を繰り返し行うとき,各回の試行は独立である。
このような試行をまとめて「反復試行」という。

1 個のさいころを 5 回投げるとき,3 の倍数の目が 3 回以上出る確率を求めよ.
3の倍数の目は、3と6なので、確率は $ \frac{1}{3} $
ちょうど3回出る確率 $ \frac{1}{3} × \frac{1}{3} × \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} × 5C3 $
+ちょうど4回出る確率 $ \frac{1}{3} × \frac{1}{3} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} × 5C4 $
+ちょうど5回出る確率 $ \frac{1}{3} × \frac{1}{3} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × 5C5 $
=$ \frac{40}{243} + \frac{10}{243} + \frac{1}{243} $
=$ \frac{51}{243} = \frac{17}{81} $
1 個のさいころを 4 回投げるとき,4 回目に 2 度目の 5 の目が出る確率を求めよ.
4回目は確定で5の目なので、 $ \frac{1}{6} $
1回目~3回目までは、5の目が1回と、5以外の目が2回なので、$ \frac{1}{6} × \frac{5}{6} × \frac{5}{6} × 3C1 $
よって、これらを掛け算して、$ \frac{1}{6} × \frac{25}{216} × 3 = \frac{25}{432} $
図において,点 P は A を出発点として確率 $ \frac{2}{3} $ で右回りに1つ次の点に移り,確率 $ \frac{1}{3} $ で左回りに 1 つ次の点に移る.
3 回の移動で,点 P が点 B にいる確率を求めよ.
左左左 $ \frac{1}{3} × \frac{1}{3} × \frac{1}{3} $
+左右右 $ \frac{1}{3} × \frac{2}{3} × \frac{2}{3} × 3C1 $
= $ \frac{1}{27} + \frac{4}{9} = \frac{13}{27} $

反復試行の例題

1個のさいころを7回投げるとき,1の目が3回,2の目が2回,その他の目が2回出る確率を求めよ。
反復試行(同じものを含む順列)

反復試行(同じものを含む順列)

条件付き確率

事象 A が起こったとわかっているときの,事象 B が起こる確率を,
A が起こったときの B の起こる「条件付き確率」といい、PA(B)と表す。

条件付き確率のイメージ

条件付き確率のイメージ

当たりくじ 4 本を含む20本のくじがある。引いたくじはもとに戻さないとして,1 本ずつ 2 回続けてくじを引く。
このとき1 回目に当たりくじを引いたとき,2 回目も当たりくじを引く確率を求めよ。
「1 回目に当たりくじを引いたとき」という風に、確定した前提のように書いてあるので、
すでに当たりくじが1本無くなった19本の中から3本の当たりくじを引く確率を考えれば良い。

よって、$ \frac{3}{19} $

当たりくじ 4 本を含む20本のくじがある。引いたくじはもとに戻さないとして,1 本ずつ 2 回続けてくじを引く。
このとき2 回とも当たりくじを引く確率を求めよ。
1回目に当たりくじを引いて かつ 2回目も当たりくじを引くので、式は
$ \frac{4}{20} × \frac{3}{19} = \frac{3}{95} $
当たりくじ 4 本を含む20本のくじがある。引いたくじはもとに戻さないとして,1 本ずつ 2 回続けてくじを引く。
このとき2 回目に当たりくじを引く確率を求めよ。
「2 回目に当たりくじを引く」という意味は、2つのパターンがある。
1回目はハズレ × 2回目に当たり
1回目は当たり × 2回目も当たり
これらは互いに排反なので、足し算をすれば良い。

$ \frac{16}{20} × \frac{4}{19} + \frac{4}{20} × \frac{3}{19} = \frac{1}{5} $

白球 5 個と赤球 3 個が入った袋から球を 1 個取り出し,それをもとに戻さずもう 1 個取り出す.
1 回目に白球が出たとき,2 回目に赤球が出る確率を求めよ.
問題文が「白球が出てかつ赤球が出る」という意味ではなく、
「1 回目に白球が出たとき」として、確定しているのでこれを前提に(分母)して考える。
白球が出たので、残りは7個のうちから赤球が出る確率を求めればよい。

よって、$ \frac{3}{7} $

箱Aには赤玉が2個,箱Bには赤玉と白玉が1個ずつ,箱Cには白玉が2個入っている。無作為に1つの箱を選んで玉を1個取り出したら赤玉であった。このとき,選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である確率を求めよ
条件付き確率(基礎問題A)

原因の確率(条件付き確率)

ある病原菌の検査試薬は,病原菌に感染しているのに誤って陰性と判断する確率が1%,感染していないのに誤って陽性と判断する確率が2%である。全体の1%がこの病原菌に感染している集団から1つの個体を取り出すとき,「陽性だったときに,実際には病原菌に感染していない確率」を求めてみよう。
原因の確率(教科書例題)

公式一覧

テスト前にご活用ください。

集合の表し方

★集合の表し方 A={ x | xの条件 }

★記号 BはAの部分集合  $ B \subset A $

部分集合イメージ

★記号 要素x は集合Aに属する。  $ x \in A $

★記号 要素x は集合Aに属さない。 $ x \notin A $

集合の個数の表し方

集合 A の個数が2個のとき、numberの頭文字を使って、$ n(A)= 2 $ と表す。

空集合∅のとき、 $ n( ∅ )= 0 $

和集合の要素の個数

$ n(A∪B)=n(A)+ n(B)- n(A∩B) $

補集合の要素の個数

$ n ( \overline{ A } )= n(U)- n(A) $

*全体集合 universal set

和の法則

2 つの事象AとBは同時に起こらないとする。
Aの起こり方が a 通り,Bの起こり方が b 通りあるとき,
AまたはBが起こる場合の数は a+b 通りである。

積の法則

事象 X の起こり方が x 通りあり,
そのいずれの場合についても事象 Y の起こり方が y 通りあるとき,
事象 X と Y がともに起こる場合の数は x y 通りである。

約数の個数、総和

★約数の個数

ある自然数 N が, $ N = p^a q^b r^c …… $ と素因数分解されるとき,
N の正の約数の個数は,積の法則により

$ (a+1)(b+1)(c+1)… $ と表される。

例 18の約数の個数

18を素因数分解すると、 $ 2^1 × 3^2 $
つまり、作ることができる約数の個数は、2×3=6個

約数の個数

★約数の総和

ある自然数 N が, $ N = p^a q^b r^c …… $ と素因数分解されるとき,
N の正の約数の個数は,因数分解により

$ (p^0 + p^1 + … p^a )(q^0 + q^1 + … q^b )… $ と表される。

例 18の約数の総和

18の約数をそれぞれ足し算すると、式 18+9+6+3+2+1=39

これを素因数分解した式にすると、式 $ 2^1 × 3^2 + 2^0 × 3^2 + 2^1 × 3^1 + 2^0 × 3^1 + 2^1 × 3^0 + 2^0 × 3^0 $
18: $ 2^1 × 3^2 $
9: $ 2^0 × 3^2 $
6: $ 2^1 × 3^1 $
3: $ 2^0 × 3^1 $
2: $ 2^1 × 3^0 $
1: $ 2^0 × 3^0 $

これを因数分解すると、式 $ 2^1 × (3^2 + 3^1 + × 3^0) + 2^0 × (3^2 + 3^1 + 3^0 ) = (2^0 + 2^1 )(3^2 + 3^1 + 3^0 )$

順列の総数

異なる n 個のものから,異なる r 個を取って並べる順列
= n 個のものから r 個取る順列

$ nPr=n(n-1)(n-2)…(n-r+1) $

*r=0 のときも成り立つように  $ nP0=1 $  と定める。
*順列 p 意味

headphone

Permutation
順列

階乗 n !

$ n ! =n(n-1)(n-2)… 3・2・1 $

0 ! =1 と定める.

nPr を階乗を使って表す 

$ nPr = \frac{ n !}{(n-r)!} $

円順列

異なる n 個のものの円順列の総数

$ (n-1)! $

★なぜ ―1 するのか?
2通りの考え方がある。

・1つ固定した分を引き算するから。残りの順列を考えればよい。

円順列(-1をする理由)

・人数分だけ、同じパターンが回転するから(3人なら、aが北、aが東、aが西という3つ同じものが出てくるので÷3。よって、3!÷3=2!となる。)

じゅず順列

「じゅず順列」とは、円順列において,裏返すと同じになるものを同じ並び方とみなすとき,その順列のこと。

異なる n 個のもののじゅず順列の総数は、

円順列 ÷2 *裏返すと同じ並び方になるものが 2 通りずつあるので ÷2をすればよい。

つまり、 $ \frac{(n-1)!}{2} $

*同じ文字(線対称)がある円順列の場合、この円順列をじゅずにしても重複しないので、÷2はしない。
たとえば、(a b b )の円順列は、1通り。じゅず順列にしても重複しないので、1通り(÷2をしてはいけない。)

じゅず順列で2で割らないパターン

重複(ちょうふく)順列

重複順列とは、同じものを繰り返し使ってもよいときの順列をいう。

異なる n 個から r 個取る重複順列の総数は
$ n^r $

組合せ

組合せとは、いくつかのものから,取り出す順序を無視して取り出して組にしたものをいう。

異なる n 個のものから,異なる r 個を取る組合せの総数

$ {}_n \mathrm{ C }_r = \frac{{}_n \mathrm{ P }_r}{r!} = \frac{n(n-1)(n-2)……(n-r+1)}{ r(r-1)……3・2・1} $

n 個のものから r 個のものを選ぶことは,選ばない(n-r)個を決める
ことと同じである。よって

$ {}_n \mathrm{ C }_r = {}_n \mathrm{ C }_(n-r) $

重複組合せ

異なるn個のものから重複を許してr個とる組合せのこと。

$ \displaystyle {}_n H_k = {}_{n+k-1} C_k = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $

反復試行

同じ条件のもとで,同じ試行を繰り返し行うとき,各回の試行は独立である。
このような試行をまとめて「反復試行」という。

n 回の試行で事象 A が起こる確率を p とする。
この試行をn 回繰り返し行う反復試行で,A がちょうど r 回起こる確率は

$ {}_n \mathrm{ C }_r p^r (1-p)^{n-r} $

条件付き確率

全事象が U である試行において,事象 A が起こったときの事象 B が起こる条件付き確率 PA(B)は

$ P_{ A }(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} $ …場合の数で式を作っても良いし

$ P_{ A }(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $ …確率で式を作っても良い。なぜなら、分母は約分で消えるから同じ結果になる。

これらを式変形すると、$ P(A \cap B) = P(A)× P_{ A }(B) $

この学習が終わった方へ

多くの受験生がよく解いている青チャートやフォーカスゴールドを一通りチェックしましょう。
ライバルたちが見ている参考書を見ておかないと、差をつけられてしまいます。

青チャートをフォーカスゴールドを別ページで解説していますので、ご覧ください。

青チャートを全て解説します。

Focus Gold (フォーカスゴールド)を全て解説します。

英語

英単語からまずは学習を進めてください。2回の発音の間(5秒)で日本語訳が言えるかな?

参考
easy copy mathjax 集合
https://easy-copy-mathjax.nakaken88.com/set/

easy copy mathjax 順列と組合せ
https://easy-copy-mathjax.nakaken88.com/permutation-and-combination/