平面ベクトル《典型問題、公式まとめ、なぜそうなるか》

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平面ベクトルの基礎問題

前提知識として、三角比の値を復習・暗記しましょう。(内積でcosの値が出てきます。)

三角関数の値

$ cos 90^{ \circ } $ の値
0
$ cos 180^{ \circ } $ の値
-1
次の記号は何を表しているか。 $ \overrightarrow{ |AB| } = 5 $
ベクトルABの大きさ(長さ)が5である。
*AB=5でも良い。
「ベクトルが等しい」という表現は、何を意味しているか。
「大きさ」と「向き」が等しいベクトルという意味。
「逆ベクトル」という表現は、何を意味しているか。
「大きさ」は同じだが、「向き」が反対のベクトルを意味している。
「零ベクトル」という表現は、何を意味しているか。
「大きさ」はゼロ、つまり点を意味している。
図のベクトル(太い矢印)は、何を意味しているか。
$ \overrightarrow{ a } + \overrightarrow{ -b } $ 

aベクトルと、-bベクトルを足し算したもの。つまり、引き算でもある(aベクトル-bベクトル)

ベクトルの差

ベクトルの差

「単位ベクトル」とは何か。
大きさが1のベクトルのこと。
図のように、$ \overrightarrow{ AB } $ は、始点がAで終点がBのベクトルである。始点をCとして別の表現をしましょう(ベクトルの分割)。
$ \overrightarrow{ CB } – \overrightarrow{ CA } $

単位ベクトルとベクトルの分割

AB=3.AD=4の長方形 ABCDがある. $ \overrightarrow{ BD } $ と平行な単位ベクトルを $ \overrightarrow{ b } $ と $ \overrightarrow{ d } $ を用いて表しましょう。
単位ベクトルとは、大きさが1のベクトルのことなので、BDの大きさ(長さ)で割り算すると1となる。
三平方より長さを求めると、BD=5

平行なベクトルは、2種類(BDの傾きと同じ、BDの傾きと逆)あるので注意。
BDの傾きと同じ→ $ \overrightarrow{ d } – \overrightarrow{ b } $
BDの傾きと逆→ $ – (\overrightarrow{ d } – \overrightarrow{ b }) = \overrightarrow{ b } – \overrightarrow{ d } $

よって、平行な単位ベクトルは2種類あり、$ \frac{\overrightarrow{ d } – \overrightarrow{ b }}{5} $ $ \frac{\overrightarrow{ b } – \overrightarrow{ d }}{5} $

単位ベクトルとベクトルの分割

ベクトルを座標のように表すことを「ベクトルの成分表示」という。 $ \overrightarrow{ a } =( x , y ) $ の場合、x を座標ではなく、何と言うか。
x成分
*ベクトルの傾きを、x成分(xの増加量)とy成分(yの増加量)で表すことができる。
$ \overrightarrow{ c } = (3 , 1) $ と平行な単位ベクトルの成分を求めよ。
成分を求めるので、答えは、座標のように表す。

単位ベクトル(大きさが1)を求めたいので、長さは三平方より $ \sqrt{ 10 } $
平行なベクトルは2種類あるので、 $ (\frac{3}{\sqrt{ 10 }} ,\frac{1}{\sqrt{ 10 }}) (\frac{-3}{\sqrt{ 10 }} ,\frac{-1}{\sqrt{ 10 }}) $

図のような直角三角形について,$ \overrightarrow{ AC } ・\overrightarrow{ CA } $ の内積を求めよ.
★始点がそろっているかチェック(内積の定義より、始点をそろえなければいけない。)

$ \overrightarrow{ AC } ・ \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ |AC| } \overrightarrow{ |CA| } cos\theta $
$ = 2\sqrt{ 3 } × 2\sqrt{ 3 } × cos 180^{ \circ } $
$ = -12 $

内積

図のような直角三角形について,$ \overrightarrow{ BH } ・\overrightarrow{ HC } $ の内積を求めよ.
★始点がそろっているかチェック(内積の定義より、始点をそろえなければいけない。)
$ \overrightarrow{ BH } ・ \overrightarrow{ HC } = \overrightarrow{ |BH| } \overrightarrow{ |HC| } cos\theta $
$ = \sqrt{ 3 } × 1 × cos 0^{ \circ } $
$ = \sqrt{ 3 } $

内積2

2 つのベクトル $ \overrightarrow{ a } = ( -\sqrt{ 3 } , 1 ) $ と $ \overrightarrow{ b } = ( 1 , -\sqrt{ 3 } ) $ のなす角 $ \theta $ を求めよ。
なす角は、内積の公式より(なす角=内積÷(長さ×長さ)で暗記してしまおう!)
$ cos\theta = \frac{\overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ b }}{\overrightarrow{ |a| } \overrightarrow{ |b| }} $

内積
$ -\sqrt{ 3 } × 1 + 1 × -\sqrt{ 3 } = -2\sqrt{ 3 } $

大きさ(長さ)は、三平方より
$ \frac{\overrightarrow{ |a| } = 2 $
$ \frac{\overrightarrow{ |b| } = 2 $

$ cos\theta = \frac{ -2\sqrt{ 3 } }{ 2×2 } = \frac{ -\sqrt{ 3 } }{ 2 } = 150^{ \circ } $

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内積の計算問題

内積の計算問題

内積の計算問題解答
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長さの2乗の証明

ベクトルの大きさの2乗の証明

ベクトルの大きさの2乗の証明(解答)

ベクトルの大きさの2乗の証明(解答)

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ベクトルの大きさを求める問題

ベクトルの大きさを求める問題

ベクトルの大きさを求める問題(解答)

ベクトルの大きさを求める問題(解答)

$ P(\overrightarrow{ a }) $ は何を意味しているか。《位置ベクトル》
$ \overrightarrow{ a } $ が差し示した場所、つまり、$ \overrightarrow{ a } $ の終点がPであること。
始点(どこでも良い)から$ \overrightarrow{ a } $ 移動した点がPであること。
*始点は省略されていることが多い。省略されている以上、どこから出発したと考えてよい。
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位置ベクトルとは

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位置ベクトルとは(解答)

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位置ベクトルとは②

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3点が一直線上にあることの証明改造

3点が一直線上にあることの証明

3点が一直線上にあることの証明(解答)

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位置ベクトルの基本形

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位置ベクトルの基本形(解答)

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線分を内分する位置ベクトル

一直線上の点と線分を内分する位置ベクトル

線分を内分する位置ベクトル(解答)

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一直線上の点と線分を内分する位置ベクトルpart2

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一直線上の点と線分を内分する位置ベクトルpart2(解答)

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線分を内分する位置ベクトル(一直線が使えない)

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線分を内分する位置ベクトル(一直線が使えない)解答

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二辺とその間の角度がわかっているとき

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二辺とその間の角度がわかっているとき(解答)

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直線をベクトルで表現する(直線を通る1点と、方向が分かっているとき)

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直線をベクトルで表現する(直線を通る2点が分かっているとき)

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直線をベクトルで表現する(直線を通る2点が分かっているとき)解答

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直線をベクトルで表現(1点と法線ベクトルが分かっているとき)

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直線をベクトルで表現(1点と法線ベクトルが分かっているとき)解答2

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直線をベクトルで表現(1点と法線ベクトルがわかっている)part2

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直線をベクトルで表現(1点と法線ベクトルがわかっている)part2解答

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円をベクトルで表す

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円をベクトルで表す(解答)

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ベクトルの足し算は、終点の存在範囲がわかる

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ベクトルの足し算は、終点の存在範囲がわかる(解答)

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平面ベクトルの公式

ベクトルの分割

始点を変更することができる点に重要な意味がある。
つまり、問題文であたら得られているヒントを変更させることができる。

単位ベクトルとベクトルの分割

ベクトルが平行

$ \overrightarrow{ a } $ と $ \overrightarrow{ b } $ が平行というヒントが与えられたら、大きさ(長さ)は違うが、向きが同じという意味。

大きさが違うので、【k倍する】と等しくなると言える。

つまり、$ \overrightarrow{ a } = k \overrightarrow{ b } $

ベクトルの内積

内積の定義
$ \overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ b } = \overrightarrow{ |a| } \overrightarrow{ |b| } cos\theta $
*【注意】「・」はかけ算を意味するが、かけ算の記号「✕」で表すと外積を意味するので、内積は「・」で表しましょう。

*cos90度=0 なので、2つのベクトルが直角に交わっている場合、内積の値も0となる。

*式を変形させた次の式も暗記してしまおう(計算を速くするために)
【暗記】なす角=内積÷(長さ×長さ)
$ cos\theta = \frac{\overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ b }}{\overrightarrow{ |a| } \overrightarrow{ |b| }} $

【暗記】同じベクトルの内積の値は、大きさの2乗になる。 ( $ cos0^{ \circ }=1 $ )
逆に考えると、大きさの2乗は、同じベクトルの内積となる。特に、ベクトルの大きさを求める問題を内積の計算問題として考えることができる。
$ \overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ a } = \overrightarrow{ |a| } \overrightarrow{ |a| } cos0^{ \circ } $
$ \overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ a } = \overrightarrow{ |a| }^{ 2 } $

$ \overrightarrow{ a } = (a_{ 1 } , a_{ 2 } ) $ $ \overrightarrow{ b } = ( b_{ 1 } , b_{ 2 } ) $ のとき、
$ \overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ b } = a_{ 1 } b_{ 1 } + a_{ 2 } b_{ 2 } $

*覚えておくと良い【なす角が90度(内積が0)になる場合の成分】の例
(2 , 3)(-3 , 2)
(2 , 3)(3 , -2)
(-2 , 3)(3 , 2)
(2 , -3)(3 , 2)など左右対称で、一つ符合がマイナスであれば内積の値が0になるので、なす角が90度となる。

位置ベクトル

*分数の分子は、バラバラに直すクセをつけると良い。
*内分も外分も重心も、分数の係数は、足し算すると、「1」になる。

内分

外分

重心:中線を2:1に内分する点のこと。

直線をベクトルで表現する(直線のベクトル方程式)

直線は、今まで $ y=ax+b $ として、方程式で表してきたが、ベクトルでも表現することができる(ベクトルは、m倍すると伸縮自在にできるので、永遠に伸びる直線も表現できる)。

直線上の点をPとする。
そもそも位置ベクトルは終点を表すので、直線上にPがいるイメージ。
始点はどこでもよい。

★直線を通る1点と、傾き(方向)が分かっているときの表現

今までと同様に、傾きと、通る点が1が分かれば直線を表現できる。
ベクトルでは、始点から終点Pまでの足し算という形で表現できる。

始点(原点でもどこでも良い)から1点に進み、t倍された方向(directions)へ進むと考えれば良い。

1点と方向ベクトルが分かっているときのベクトル方程式

1点と方向ベクトルが分かっているときのベクトル方程式

★直線を通る2点が分かっているときの表現
2点与えられているなら、内分・外分点の位置ベクトルとして表現できる。
(別解:2点から傾きを求めて、通る1点と使って直線を表気しても良い。)

2点わかっているときのベクトル方程式

2点わかっているときのベクトル方程式

法線ベクトル(垂直に交わる線のベクトル)

法線ベクトル(ほうせんベクトル、normal vector)は、傾きどうしをかけ算すると「-1」になることを利用して、次のことがいえる。

法線ベクトルの求め方

法線ベクトルの求め方

円をベクトルで表す

そもそも円とは、中心(定点)から円周までの距離(半径)が常に一定である図形のこと。

ベクトルで円を表す

ベクトルで円を表す

ベクトルの終点の存在範囲

ベクトルの足し算は、平行四辺形の対角線になる。これを利用して終点の場所をコントロールする話。

ベクトルの足し算は、終点の存在範囲を予想できる

ベクトルの足し算は、終点の存在範囲を予想できる

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