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平面ベクトルの基礎問題

前提知識として、三角比の値を復習・暗記しましょう。（内積でcosの値が出てきます。）

$ cos 90^{ \circ } $ の値

$ cos 180^{ \circ } $ の値

-1

次の記号は何を表しているか。 $ \overrightarrow{ |AB| } = 5 $

ベクトルABの大きさ（長さ）が５である。
＊AB＝５でも良い。

「ベクトルが等しい」という表現は、何を意味しているか。

「大きさ」と「向き」が等しいベクトルという意味。

「逆ベクトル」という表現は、何を意味しているか。

「大きさ」は同じだが、「向き」が反対のベクトルを意味している。

「零ベクトル」という表現は、何を意味しているか。

「大きさ」はゼロ、つまり点を意味している。

図のベクトル（太い矢印）は、何を意味しているか。

$ \overrightarrow{ a } + \overrightarrow{ -b } $　

aベクトルと、-bベクトルを足し算したもの。つまり、引き算でもある（aベクトル-bベクトル）

「単位ベクトル」とは何か。

大きさが１のベクトルのこと。

図のように、$ \overrightarrow{ AB } $ は、始点がAで終点がBのベクトルである。始点をCとして別の表現をしましょう（ベクトルの分割）。

$ \overrightarrow{ CB } – \overrightarrow{ CA } $

AB=3.AD=4の長方形 ABCDがある. $ \overrightarrow{ BD } $ と平行な単位ベクトルを $ \overrightarrow{ b } $ と $ \overrightarrow{ d } $ を用いて表しましょう。

単位ベクトルとは、大きさが１のベクトルのことなので、BDの大きさ（長さ）で割り算すると１となる。
三平方より長さを求めると、BD＝５

平行なベクトルは、２種類（BDの傾きと同じ、BDの傾きと逆）あるので注意。
BDの傾きと同じ→ $ \overrightarrow{ d } – \overrightarrow{ b } $
BDの傾きと逆→ $ – (\overrightarrow{ d } – \overrightarrow{ b }) = \overrightarrow{ b } – \overrightarrow{ d } $

よって、平行な単位ベクトルは２種類あり、$ \frac{\overrightarrow{ d } – \overrightarrow{ b }}{5} $ $ \frac{\overrightarrow{ b } – \overrightarrow{ d }}{5} $

ベクトルを座標のように表すことを「ベクトルの成分表示」という。 $ \overrightarrow{ a } =( x , y ) $ の場合、x を座標ではなく、何と言うか。

x成分
＊ベクトルの傾きを、x成分（xの増加量）とy成分（yの増加量）で表すことができる。

$ \overrightarrow{ c } = (3 , 1) $ と平行な単位ベクトルの成分を求めよ。

成分を求めるので、答えは、座標のように表す。

単位ベクトル（大きさが１）を求めたいので、長さは三平方より $ \sqrt{ 10 } $
平行なベクトルは２種類あるので、 $ (\frac{3}{\sqrt{ 10 }} ,\frac{1}{\sqrt{ 10 }}) (\frac{-3}{\sqrt{ 10 }} ,\frac{-1}{\sqrt{ 10 }}) $

図のような直角三角形について，$ \overrightarrow{ AC } ・\overrightarrow{ CA } $　の内積を求めよ．

★始点がそろっているかチェック（内積の定義より、始点をそろえなければいけない。）

$ \overrightarrow{ AC } ・ \overrightarrow{ CA } = \overrightarrow{ |AC| } \overrightarrow{ |CA| } cos\theta $
$ = 2\sqrt{ 3 } × 2\sqrt{ 3 } × cos 180^{ \circ } $
$ = -12 $

図のような直角三角形について，$ \overrightarrow{ BH } ・\overrightarrow{ HC } $　の内積を求めよ．

★始点がそろっているかチェック（内積の定義より、始点をそろえなければいけない。）
$ \overrightarrow{ BH } ・ \overrightarrow{ HC } = \overrightarrow{ |BH| } \overrightarrow{ |HC| } cos\theta $
$ = \sqrt{ 3 } × 1 × cos 0^{ \circ } $
$ = \sqrt{ 3 } $

2 つのベクトル $ \overrightarrow{ a } = ( -\sqrt{ 3 } , 1 ) $ と $ \overrightarrow{ b } = ( 1 , -\sqrt{ 3 } ) $ のなす角 $ \theta $ を求めよ。

なす角は、内積の公式より（なす角＝内積÷（長さ×長さ）で暗記してしまおう！）
$ cos\theta = \frac{\overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ b }}{\overrightarrow{ |a| } \overrightarrow{ |b| }} $

内積
$ -\sqrt{ 3 } × 1 + 1 × -\sqrt{ 3 } = -2\sqrt{ 3 } $

大きさ（長さ）は、三平方より
$ \frac{\overrightarrow{ |a| } = 2 $
$ \frac{\overrightarrow{ |b| } = 2 $

$ cos\theta = \frac{ -2\sqrt{ 3 } }{ 2×2 } = \frac{ -\sqrt{ 3 } }{ 2 } = 150^{ \circ } $

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内積の計算問題

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ベクトルの大きさの２乗の証明

ベクトルの大きさの２乗の証明（解答）

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ベクトルの大きさを求める問題

ベクトルの大きさを求める問題（解答）

$ P(\overrightarrow{ a }) $ は何を意味しているか。《位置ベクトル》

$ \overrightarrow{ a } $ が差し示した場所、つまり、$ \overrightarrow{ a } $ の終点がPであること。
始点（どこでも良い）から$ \overrightarrow{ a } $ 移動した点がPであること。
＊始点は省略されていることが多い。省略されている以上、どこから出発したと考えてよい。

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位置ベクトルとは

位置ベクトルとは（解答）

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位置ベクトルとは part②

位置ベクトルとはpart②（解答）

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３点が一直線上にあることの証明

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位置ベクトルの基本形

位置ベクトルの基本形(解答)

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一直線上の点と線分を内分する位置ベクトル

一直線上の点と線分を内分する位置ベクトル（解答）

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一直線上の点と線分を内分する位置ベクトルpart2

一直線上の点と線分を内分する位置ベクトルpart2（解答）

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線分を内分する位置ベクトル（一直線が使えない）

線分を内分する位置ベクトル（一直線が使えない）解答

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二辺とその間の角度がわかっているとき

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直線をベクトルで表現する（直線を通る１点と、方向が分かっているとき）

直線をベクトルで表現する（直線を通る１点と、方向が分かっているとき）解答

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直線をベクトルで表現する（直線を通る２点が分かっているとき）

直線をベクトルで表現する（直線を通る２点が分かっているとき）解答

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直線をベクトルで表現（１点と法線ベクトルが分かっているとき）

直線をベクトルで表現（１点と法線ベクトルが分かっているとき）解答

直線をベクトルで表現（１点と法線ベクトルが分かっているとき）解答2

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直線をベクトルで表現（１点と法線ベクトルがわかっている）part2

直線をベクトルで表現（１点と法線ベクトルがわかっている）part2解答

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円をベクトルで表す

円をベクトルで表す（解答）

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ベクトルの足し算は、終点の存在範囲がわかる

ベクトルの足し算は、終点の存在範囲がわかる（解答）

平面ベクトルの公式

ベクトルの分割

始点を変更することができる点に重要な意味がある。
つまり、問題文であたら得られているヒントを変更させることができる。

ベクトルが平行

$ \overrightarrow{ a } $ と $ \overrightarrow{ b } $ が平行というヒントが与えられたら、大きさ（長さ）は違うが、向きが同じという意味。

大きさが違うので、【ｋ倍する】と等しくなると言える。

つまり、$ \overrightarrow{ a } = k \overrightarrow{ b } $

ベクトルの内積

内積の定義
$ \overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ b } = \overrightarrow{ |a| } \overrightarrow{ |b| } cos\theta $
＊【注意】「・」はかけ算を意味するが、かけ算の記号「✕」で表すと外積を意味するので、内積は「・」で表しましょう。

＊cos90度＝0　なので、２つのベクトルが直角に交わっている場合、内積の値も0となる。

＊式を変形させた次の式も暗記してしまおう（計算を速くするために）
【暗記】なす角＝内積÷（長さ×長さ）
$ cos\theta = \frac{\overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ b }}{\overrightarrow{ |a| } \overrightarrow{ |b| }} $

＊【暗記】同じベクトルの内積の値は、大きさの２乗になる。　（ $ cos0^{ \circ }=1 $ ）
逆に考えると、大きさの２乗は、同じベクトルの内積となる。特に、ベクトルの大きさを求める問題を内積の計算問題として考えることができる。
$ \overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ a } = \overrightarrow{ |a| } \overrightarrow{ |a| } cos0^{ \circ } $
$ \overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ a } = \overrightarrow{ |a| }^{ 2 } $

$ \overrightarrow{ a } = (a_{ 1 } , a_{ 2 } ) $ $ \overrightarrow{ b } = ( b_{ 1 } , b_{ 2 } ) $ のとき、
$ \overrightarrow{ a } ・ \overrightarrow{ b } = a_{ 1 } b_{ 1 } + a_{ 2 } b_{ 2 } $

＊覚えておくと良い【なす角が90度（内積が0）になる場合の成分】の例
（2 , 3）（-3 , 2）
（2 , 3）（3 , -2）
（-2 , 3）（3 , 2）
（2 , -3）（3 , 2）など左右対称で、一つ符合がマイナスであれば内積の値が0になるので、なす角が90度となる。