【0から始める数学ⅠA】典型的で重要な問題まとめ《公式一覧・総チェック》

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このページは、すぐに解法をチェックできるインプット型のページです。
よく出題される典型問題は、問題文ごと暗記しましょう。

数学ⅡBの公式まとめはこちら

展開・因数分解・絶対値・不等式

$ (a+b−c−d)(a−b−c+d) $

★置き換え的な発想で、項を少なくして展開をしていく。
$ =((a−c)+(b−d))((a−c)−(b−d)) $
$ =(A+B)(A−B) $
$ =A^2−B^2 $
$ =(a−c)^2−(b−d)^2 $
$ =a^2−2ac+c^2−(b^2−2bd+d^2) $
$ =a^2−2ac+c^2−b^2+2bd−d^2 $
$ =a2−b2+c2−d2−2ac+2bd $

$ (ax+b)(cx+d) $
★たすき掛け
$ =acx^2+(ad+bc)x+bd $
*真ん中の部分が、たすき掛け(内項の積と外項の積の和)
★5の3乗までは暗記しましょう。
$ 2^3= $
$ 3^3= $
$ 4^3= $
$ 5^3= $
$ 2^3=8 $
$ 3^3=27 $
$ 4^3=64 $
$ 5^3=125 $
因数分解をしましょう。$ X^6−1 $
★複二次式は、外側の累乗を少なく! つまり、$ (x^2)^3 $ ではなく、$ (x^3)^2 $ へ!
*複二次式とは、偶数の累乗の式のこと。

$ =(x^3)^2−1 $
$ =(x^3−1)(x^3+1) $
$ =(x−1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2−x+1) $
$ =(x−1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2−x+1) $

おススメしない別解
$ =(x^2)^3−1 $
$ =(x^2−1)(x^4+x^2+1) $
$ =(x+1)(x−1)(x^4+x^2+1) $
$ =(x+1)(x−1)(x^4+x^2+1) $
$ =(x+1)(x−1)(x^4+2x^2+1-x^2) $
$ =(x+1)(x−1)((x^2+1)^2-x^2)) $
$ =(x+1)(x−1)(x^2+x+1)(x^2−x+1) $

一次の因数分解 $ 2y+4 $ と、二次の因数分解 $ y^2-10y+9 $ はどちらの方が簡単か?理由も。
一次の因数分解 2y+4 の方が簡単。
なぜなら、共通因数をくくれば終わるから。 $ 2(y+2) $
因数分解をしましょう。 $ x^2−8y+2xy−16 $
★一次の文字 y と二次の文字 $ x^2 $ が混ざっている因数分解は、一次の文字でまとめると共通因数だけくくり出せば終わる。

$ =(2x−8)y+x^2−16 $
$ =2(x−4)y+(x+4)(x−4) $
$ =(x−4){2y+(x+4)} $
$ =(x−4)(x+2y+4) $

$ \sqrt{ a^2 } = a $ の間違いを指摘せよ。
反例を1つ考えてみると、
たしかに、 $ \sqrt{ 4^2 } = 4 $ となり、aの部分がそのまま答えになるが、
$ \sqrt{ (-4)^2 } = 4 $ なので、aの部分がそのまま答えにはならない。

よって、正しい答えは、 $ \sqrt{ a^2 } = |a| $

図形と計量(三角比)

側辺が等しい三角錐

側辺が等しい三角錐

正四面体のすべての面に内接する球

正四面体のすべての面に内接する球

整数

★最大公約数と最小公倍数の関係
素因数分解したときに
最大公約数は、共通するもの
最小公倍数は、少なくとも一方に含まれているもの

★割り算の余りの性質(合同式につながる考え方)
整数 a , b を 自然数 m で割った余りをそれぞれ a’ , b’ とする。
a+bを mで割った余りは、 (  ) と同じになる。
a-bを mで割った余りは、 (  ) と同じになる。
abを mで割った余りは、 (  ) と同じになる。
$ a^n $ を mで割った余りは、 (  ) と同じになる。
a+bを mで割った余りは、 a’+b’を mで割った余り と同じになる。
a-bを mで割った余りは、 a’-b’を mで割った余り と同じになる。
abを mで割った余りは、 a’b’を mで割った余り と同じになる。
$ a^n $ を mで割った余りは、 $ a’^n $ を mで割った余り と同じになる。

つまり、余りa’ b’と置き換えができる。

例 633(ab : a=3,b=211 )を5で割ったときの余りは、a’=3(3÷5の余り) , b’=1(211÷5の余り) なので、a’b’=3 を5で割った余り3と同じ。つまり、3が答え。

割り算の余りの性質

割り算の余りの性質

割り算の余りの性質

割り算の余りの性質

★合同式(割り算の余りの性質を記号化して、等式のように移項など計算が簡単にできるようにしたもの)
a,bを整数,mを自然数とする。
aを mで割ったときの余りがb のとき, a ≡ b ( mod m ) と表す。
*別の言い方をすると、aも bも mで割られたときの余りが同じなので、a ≡ b

合同式の基本

合同式の基本

例題 「10を4で割った余りは2」を合同式で表しましょう。
10 ≡ 2 ( mod 4 )
★割る数m よりも 余りbの方が大きくなっても良いので、割る数であるmodの数字の分だけbに足し算して良い。
例 「100を7で割った余りは2」を合同式で表しましょう。
100 ≡ 2 ​≡ 9 ≡ -5 ( mod 7 )
*無限に表現できる。
★一の位の数を求める問題は、言い換えると( 10で割ったときの余りを求める )のと同じ。
10で割ったときの余りを求める
一の位の求め方(10で割り算した余りを求めるのと同じ)

一の位の求め方(10で割り算した余りを求めるのと同じ)

★余りが1の見つけ方(フェルマーの小定理)とは?

$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p $

pが素数、aをpと互いに素

★フェルマーの小定理の変形版は?

$ a^p \equiv a \pmod p $

★覚えておくべき累乗数

3乗 4乗 5乗 6乗 7乗 8乗 9乗 10乗
2 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 27 81 243
4 64 256 1024
5 125 625 3125
★証明の仕方
「少なくとも1つ~」の証明は、すべてのパターンをやると時間がかかるので、( 背理法か対偶 )を利用した証明が有効である。
背理法か対偶
*「少なくとも1つは~である」の否定は、「ともに~ではない」を使う。
★平方数
すべての整数の平方数は、3で割ると余りが( 0か1 )となる。
0か1

すべての整数は、3k , 3k+1 , 3k+2 (kは整数)と表されるが、
3kを2乗しても3の倍数なので、3で割ると余りは0
3の倍数ではない 3k+1 , 3k+2を2乗したものを 3で割ると余りは両方とも 1

★互除法の原理とは?
自然数a.bについて、a=b×q+rとすると、( aとbの最大公約数は、bとrの最大公約数 )と等しくなる。
aとbの最大公約数は、bとrの最大公約数 と等しくなる。
(【割られる数aと割る数bの最大公約数】は、【割る数bと余りr の最大公約数】と同じ)
※商は使わない。
※例えば、17と0の最大公約数は、17。余りが0になるまで割り算を続けることで、割る数(17)がそのまま最大公約数の答えとなる。
★aとbが「互いに素」という関係を言い換えると、( aとbの(最大)公約数が1である )と同じ。
aとbの(最大)公約数が1である

データの分析

【公式暗記用】データの分析:基本公式一問一答(10秒)

平均値の取りうる範囲(整数しか考えられない場合)

平均値の取りうる範囲(整数しか考えられない場合)

平均値の取りうる範囲(小数点も考えられる場合)

平均値の取りうる範囲(小数点も考えられる場合)

平均の出し方の工夫(仮平均とさらに割り算した仮仮平均)

平均の出し方の工夫(仮平均とさらに割り算した仮仮平均)

範囲と四分位範囲、四分位偏差

範囲と四分位範囲、四分位偏差

箱ひげ図の読み取り方

箱ひげ図の読み取り方

分散と標準偏差

分散と標準偏差

ルート計算

ルート計算

2つのデータを合わせる

2つのデータを合わせる

変量を変換したときの平均値と分散

変量を変換したときの平均値と分散

変量の変化の利用で分散を求める

変量の変化の利用で分散を求める

2種類のデータの関係(散布図、共分散、相関係数)

2種類のデータの関係(散布図、共分散、相関係数)

共分散と相関係数

共分散と相関係数

変量を変換したときの相関係数

変量を変換したときの相関係数