★置き換え的な発想で、項を少なくして展開をしていく。
$ =((a−c)+(b−d))((a−c)−(b−d)) $
$ =(A+B)(A−B) $
$ =A^2−B^2 $
$ =(a−c)^2−(b−d)^2 $
$ =a^2−2ac+c^2−(b^2−2bd+d^2) $
$ =a^2−2ac+c^2−b^2+2bd−d^2 $
$ =a2−b2+c2−d2−2ac+2bd $

★たすき掛け
$ =acx^2+(ad+bc)x+bd $
＊真ん中の部分が、たすき掛け（内項の積と外項の積の和）

$ 2^3=8 $
$ 3^3=27 $
$ 4^3=64 $
$ 5^3=125 $

★複二次式は、外側の累乗を少なく！ つまり、$ (x^2)^3 $ ではなく、$ (x^3)^2 $ へ！
＊複二次式とは、偶数の累乗の式のこと。

$ =(x^3)^2−1 $
$ =(x^3−1)(x^3+1) $
$ =(x−1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2−x+1) $
$ =(x−1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2−x+1) $

おススメしない別解
$ =(x^2)^3−1 $
$ =(x^2−1)(x^4+x^2+1) $
$ =(x+1)(x−1)(x^4+x^2+1) $
$ =(x+1)(x−1)(x^4+x^2+1) $
$ =(x+1)(x−1)(x^4+2x^2+1-x^2) $
$ =(x+1)(x−1)((x^2+1)^2-x^2)) $
$ =(x+1)(x−1)(x^2+x+1)(x^2−x+1) $

一次の因数分解 2y+4 の方が簡単。
なぜなら、共通因数をくくれば終わるから。 $ 2(y+2) $

★一次の文字 y と二次の文字 $ x^2 $ が混ざっている因数分解は、一次の文字でまとめると共通因数だけくくり出せば終わる。

$ =(2x−8)y+x^2−16 $
$ =2(x−4)y+(x+4)(x−4) $
$ =(x−4){2y+(x+4)} $
$ =(x−4)(x+2y+4) $

反例を１つ考えてみると、
たしかに、 $ \sqrt{ 4^2 } = 4 $ となり、aの部分がそのまま答えになるが、
$ \sqrt{ (-4)^2 } = 4 $ なので、aの部分がそのまま答えにはならない。

よって、正しい答えは、 $ \sqrt{ a^2 } = |a| $

a+bを mで割った余りは、 a’+b’を mで割った余り　と同じになる。
a-bを mで割った余りは、 a’-b’を mで割った余り　と同じになる。
abを mで割った余りは、 a’b’を mで割った余り　と同じになる。
$ a^n $ を mで割った余りは、 $ a’^n $ を mで割った余り　と同じになる。

つまり、余りa’ b’と置き換えができる。

例 633(ab : a=3,b=211 )を5で割ったときの余りは、a’=3（3÷5の余り） , b’=1（211÷5の余り） なので、a’b’=3 を5で割った余り3と同じ。つまり、3が答え。

10 ≡ 2 ( mod 4 )

100 ≡ 2 ​≡ 9 ≡ -5 ( mod 7 )
＊無限に表現できる。

10で割ったときの余りを求める

$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod p $

pが素数、aをpと互いに素

$ a^p \equiv a \pmod p $

背理法か対偶
＊「少なくとも１つは～である」の否定は、「ともに～ではない」を使う。

0か1

すべての整数は、3k , 3k+1 , 3k+2 （kは整数）と表されるが、
3kを２乗しても3の倍数なので、3で割ると余りは0
3の倍数ではない 3k+1 , 3k+2を２乗したものを 3で割ると余りは両方とも 1

aとbの最大公約数は、bとrの最大公約数　と等しくなる。
（【割られる数aと割る数bの最大公約数】は、【割る数bと余りr の最大公約数】と同じ）
※商は使わない。
※例えば、17と0の最大公約数は、17。余りが0になるまで割り算を続けることで、割る数（17）がそのまま最大公約数の答えとなる。

aとbの（最大）公約数が1である