【高校数学】微分法《平均変化率、導関数、接線の方程式、極値など》

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教科書レベル《必ずマスターすべき典型問題》

新しい用語(平均変化率、微分係数)

平均変化率(変化の割合)は、傾きのこと。yの増加量÷xの増加量(+h)で求められる。
微分係数とは、ある点aからのxの増加量hを、限りなく0に近づけたときの変化の割合をさす。その点aにおける接線の傾きを意味する。

数学用語(平均変化率、微分係数)

数学用語(平均変化率、微分係数)

《考え方と解き方》

平均変化率、微分係数の解き方

平均変化率、微分係数の解き方

新しい用語(導関数、微分の計算公式)

微分係数 $ f'(a) $ ≒ 導関数 $ f'(x) $
「導関数」とは、ある点aがわからない場合があるため、微分係数のある点aをそのままxに置き換えた式のこと。つまり、グラフ上のあらゆる点における接線の傾きを意味する。
「微分する」とは、導関数を求めること。

導関数、微分の計算問題

導関数、微分の計算問題

《考え方と解き方》

導関数、微分の計算公式

導関数、微分の計算公式

接線の方程式

直線は、①傾きと②通る1点がわかれば求められる。 $ y=a(x-p)+b $
①傾きについては、そもそもある点における接線の傾きが微分係数(≒導関数)なので、微分した式(導関数)に、ある点x=3を代入すれば求められる。
②通る1点については、接点で良い。

接線の方程式を求める問題

接線の方程式を求める問題

《考え方と解き方》

接線の方程式の求め方

接線の方程式の求め方

接点がわからない場合

①接点を(a,f(a))と置いて、aを使って接線の方程式をつくる
②通る点を代入して、aを求める。

接線の方程式を求める問題(接点がわからない場合)

接線の方程式を求める問題(接点がわからない場合)

《考え方と解き方》

接線の方程式を求める解法(接点がわからない場合)

接線の方程式を求める解法(接点がわからない場合)

グラフの増減と極値

微分された式(導関数)は傾きを表すので、導関数の符合変化がわかると、グラフの形状もわかる。

グラフの増減の切り替えポイントを「極値」という。
増加から減少に切り替わるポイントを「極大」という。その値を「極大値」という。
減少から増加に切り替わるポイントを「極小」という。その値を「極小値」という。
*二次関数が重解のとき、【プラス→0→プラス(単調増加)】【マイナス→0→マイナス(単調減少)】となるので、一瞬傾きが0になるが、それは増減の切り替えポイントとはいえず、極値なし。
*二次関数が解なしのときも、単調増加(単調減少)となる。

グラフの増減と極値の問題

グラフの増減と極値の問題

《考え方と解き方》

グラフの増減と極値の解き方

グラフの増減と極値の解き方

「極値をとる(持つ)」と言われたら

三次関数 $ f(x) $ が x=aで極値をとる
→ x=aのところで接線の傾きが0 $ f'(a) = 0 $ となる二次方程式の解xが2コ存在。
*重解や解なしのときには単調増加(単調減少)で極値をそもそも持たない。

極値を持つヒント【暗記】

極値を持つヒント【暗記】

パート1

「極値をとる」というヒントがある問題

「極値をとる」というヒントがある問題

《考え方と解き方》

「極値をとる」というヒントがある問題の解き方

「極値をとる」というヒントがある問題の解き方

パート2

「極値をとる」というヒントがある問題②

「極値をとる」というヒントがある問題②

《考え方と解き方》

「極値をとる」というヒントがある問題の解き方②

「極値をとる」というヒントがある問題の解き方②

三次関数の最小値と最大値

三次関数の最小値と最大値を求める問題は、4つの値(変域の端点2つの値、極大値、極小値)をすべてチェックする。答案では、増減表でまとめて示すと良い。
*注意:変域によって極大値が最大値になるとは限らないので、変域の端点もチェックする。

三次関数の最大と最小の問題

三次関数の最大と最小の問題

《考え方と解き方》

三次関数の最大と最小の問題の解き方

三次関数の最大と最小の問題の解き方

三次関数の実数解の個数

三次関数の実数解の個数は、因数分解して解ければそれで良い。
もし因数分解できない場合、解の公式は使えないので、三次関数のグラフを書いてみて、X軸と何個交点を持つかを考えるしかない。
三次関数のグラフを書くためには、微分して極値などを求めていく。
*解の公式や判別式は二次方程式しか使えない。

パート1(y=0のグラフとの交点)

三次関数の実数解の個数(y=0のグラフとの交点)の問題

三次関数の実数解の個数(y=0のグラフとの交点)の問題

《考え方と解き方》

三次関数の実数解の個数(y=0のグラフとの交点)の解法

三次関数の実数解の個数(y=0のグラフとの交点)の解法

パート2(y=aのグラフとの交点)【定数分離】

三次関数の実数解の個数(y=aのグラフとの交点)【定数分離】の問題

三次関数の実数解の個数(y=aのグラフとの交点)【定数分離】の問題

《考え方と解き方》

三次関数の実数解の個数(y=aのグラフとの交点)【定数分離】の解法

三次関数の実数解の個数(y=aのグラフとの交点)【定数分離】の解法

微分と不等式の証明

微分するとグラフの傾きがわかり、グラフの概形がわかる。
これを証明に応用すると、(左辺)=グラフ、(右辺)=グラフと考えて、大小を比較できる。
具体的には、(左辺)-(右辺)を1つのグラフとして、(左辺)-(右辺)>0を示せばよい。証明の仕方は「グラフより与式の不等式は証明された」。

微分と不等式の証明問題

微分と不等式の証明問題

《考え方と解き方》

微分と不等式の証明方法

微分と不等式の証明方法

応用問題

この応用問題が終わったら、教科書傍用問題集(4step問題集など)が解けます。
4step問題集でドリル感覚で知識を整理して、青チャートで網羅的な知識を押さえると完璧です。
あとは、模試や入試の過去問などに取組みましょう。
暇があるときに、youtube動画で日本トップレベルの知識を身につけましょう。使えるものは、自分のためにとことん使ってください。

暇のある時に見たいyoutube解説動画

テストで9割以上が取れるコツ

テストで9割以上が取れる単元ごとの学習手順まとめ
1、教科書に記載されている基本問題や公式の、根本的な理解からマスターする。
2、青チャートか、フォーカスゴールドをマスターする。
*志望校によっては青チャートをやる必要はなく、教科書傍用問題集だけで足りる。
3、共通テスト過去問を解く
4、志望校の過去問を解く

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