差がつく厳選問題集
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平均とは、平らに均（なら）すこと。これに尽きる。
平均の基本
超重要例題
男子と女子合わせて40人が計算テストをしました。全体の平均点は80点で、男子25人の平均点は77点でした。女子の平均点は何ですか。
解答
男子の平均より少ない部分80-77＝3点 ３点×男子25人分は、女子の飛び出た部分15人と同じになるので、3×25÷15＝5点 よって、80+5＝85点
4回の算数のテストの平均が81点でした。
次のテストで96点をとると，平均点は何点になるか求めましょう。
解答
このとびぬけている15点が、それぞれ5回分平らに均されるので、15÷5＝3
よって、現在の平均81＋3＝84点
(別解)
4回の合計点
81×4＝324
5回の平均は、
(324＋96)÷５
＝420÷5
＝84
84点
輪投げを4回やって，平均が15点でした。
あと1回投げて平均を20点にするには，何点とればよいか求めましょう。
解答
過去４回分を＋５＋５＋５＋５させなければならない。
さらに５回目で２０点とらなければならない。
よって、20+20＝40
（別解）
５回の平均がわかっているので、目標から逆算する。
５回の合計-４回の合計をやればよい。
5回の合計
20×5＝100
4回の合計
15×4＝60
100－60＝40点
回数が分からない問題
テストが何回かあり，平均点は76点でした。
次のテストで86点をとると，平均点が2点あがります。
今までに何回テストを受けたか求めましょう。
解答
図で考える。
86点は、現在の平均76点より、10点飛び出る。
この飛び出た10点は、次のテストを含めた今までのテスト回数分わりふられて、結果2点の平均上昇をさせているので、
10÷5＝2
5回分割りふることになる。
よって、次のテストを含めず、今までのテスト回数は4回
面積図を自分で補完する
男女合わせて5人の平均点より、女子3人の平均点の方が4点低く、男子2人の点数の和は166点だった。5人の平均点は何点か。
解答
男子は2人なので、12点÷2＝6点分平均より上になる。
男子2人の点数の和は166点なので、男子の平均点が166÷2＝83点とわかる。
この男子の平均83点より、6点分下へ行けば、５人の平均がわかる。
よって、83-6＝77点（答え）
面積を工夫して求める～上と下の平均の差がわかっている場合～
算数テストを受けた全体の平均点は64点で、合格者の平均点は不合格者の平均点より20点上でした。合格者100人、不合格者300人だったとすると、合格者の平均点は何点か。
解答
答えは79点
面積を工夫して求める～平均単価（１枚あたりの平均額）～
アルバムを作るのに最初は3冊セットで1000円です。4冊目からは１冊につき250円かかります。1冊あたりの平均金額を260円以下にするには、合計何冊以上作れば良いですか。
解答
分数計算となるが、
飛び出た部分のタテ（高さ）は、1000÷3円-260円
よって、飛び出た部分の面積は、（1000÷3円-260円）×3＝220円
これが、足りていない部分の面積と同じなので、220円÷10円＝22枚 よって、22枚＋3冊＝25枚以上作る必要がある（答え）
＊最初に購入する3冊セットを最後に足し算することを忘れずに。
ヒントを上手く使う
あるテストで、合格基準点を、ある点数に定めてそれ以上を合格することにした。
合格者は、受験者総数の30％で、その合格者だけの平均点は、基準点より10点高く、また、不合格者だけの平均点は基準点より30点低く、また全受験者の平均点は60点だった。このとき、合格基準点は何点か。
解答
基準点のヒントより、合格者の平均と不合格者の平均との差は、10+30＝40点とわかる。…上と下の平均の差がわかっている場合パターン
不合格者平均よりも上の部分は、40点×3人＝120点分 これが、不合格者の平均点より上の部分（別の見方）の全体10人×□と一致するので、□＝12点
この12点は、あくまでもタテの話なので、平均の話である。（基準点をヒントにしたが、ヒントにしただけで、出てきた答えは全体の平均点と不合格者平均との差）
よって、全体平均60点より12点低い48点が不合格者平均であり、これより30点高い78点が基準点となる（答え）
平均とのべ（合計）
ABCDの４人の体重は、異なっていて、AからＤの順に重くなっている。２人ずつ体重の平均をとると、ちょうど同じになる組がある。
BとCの平均が42.5㎏、ＡとＣの平均はＡとＢの平均より1.5㎏重くなっていて、また、AＢＣの平均をとると、４人の平均より2.5㎏軽い。
このとき、ＢとＤの体重を求めなさい。
解答
AからＤの順に重くなっているということはＡ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄであり、２人ずつ体重の平均が同じになるのは、ＡＤの平均＝ＢＣの平均（42.5㎏）しかない。よって、ＡＢＣＤの全員の平均も42.5㎏となる。面積算を使うと、全員の平均より飛び出た部分はＤ１人の面積で、全員の平均より足らない部分はＡＢＣ３人の平均の面積となる。よって、Ｄの体重は、ＡＢＣ３人×2.5＋全体の平均42.5＝50㎏（答え）
次にＢについて
平均を合計に変換するときは人数分かけ算しなければならない。「ＡとＣの平均はＡとＢの平均より1.5㎏重い」→２人の平均が1.5㎏重いということは、×２をして、「ＡとＣの合計は、ＡとＢの合計より3㎏重い」と書き換えることができる。式にすると、Ａ＋Ｃ＝Ａ＋Ｂ＋3なので、Ｃ＝Ｂ＋3となる。「BとCの平均が42.5㎏」なので、Ｂ＋Ｃ＝42.5×2＝85㎏ よって、和差算より、（85-3）÷2＝41㎏（答え）
平均年齢
ある集団で、2021年の4月の40人の平均年齢は35歳でした。
2022年には5人、2023年には3人が入ってきました。
また、2021年から2023年のすべてにおいて、この集団から抜けた人は誰もいなく、平均年齢も35歳変化しませんでした。
（１）2022年に入ってきた5人の平均年齢は、当時何歳だったか。
（２）2023年に入ってきた3人のうち、２人は年齢が同じで、もう１人は、18歳だった。この２人の年齢は、当時何歳だったか求めましょう。
解答
（2）面積算を使う。既存の45人の平均年齢は１歳上がるので、36歳となる。全体の平均は、35歳と変化しなかったので、求める３人の平均年齢は、飛び出た部分45人×1歳＝４５の面積と同じになるので45÷３＝15 つまり、全体の平均35歳より15歳低いことになる。よって、３人の平均年齢は20歳。１人が18歳なので、合計（60歳―18歳）÷２＝21歳（答え）
★ポイント
ある集団の平均年齢は、毎年、１歳ずつ増えます。これは、新しい人がその集団に入ってこない限り、その集団の人数に関係なくです。
人数や回数がない問題
ABCの３人の身長の平均は161㎝です。Aの身長は、Cの身長より３㎝高く、AとCの身長の平均はBの身長より６㎝高いです。
このとき、Aの身長は何㎝ですか。
解答
人数や回数がない問題は、線分図的に（和差算として）解くと良い。
作図するときにポイントになるのが、AとCの平均は、ちょうどAとCの半分の長さになる。
つまり、Aが一番長く、CはAより３㎝短く、BはAより６㎝＋1.5㎝短くなるように作図する。
３人の平均のヒントは、和差算の合計（161×3）として使う。
平均と条件整理
ABCDは、４つの異なる整数です。次のことが分かっているとき、ＡＢＣＤの数字を答えなさい。
・Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ
・ＡとＢの平均は、１２で、ＢとＣの平均は16
・Ａは１けたの数
・ＢＣＤの３つの平均は、Ｃより小さい
解答
ＡＢＣについて
平均が分かっているので、Ａ＋Ｂ＝24 Ｂ＋Ｃ＝32 これらの式を引き算すると、Ｃ-Ａ＝8 つまり、ＡとＣの差は8だとわかる。
Ａ＋Ｂ＝24 の場合を考えると、Ａは１けたなので、9+15、8+16、7+17などが考えられる。
Ｂ＋Ｃ＝32 の場合を考えると、ＡとＣの差は8なので、Ａ＋Ｂ＝9+15だとするとＣは17でＢはちゃんと15となり一致する。（一応、他の場合をやってみると、Ａ＋Ｂ＝8+16だとするとＣは16でＢは16となり不一致。）よって、Ａは9、Ｂは15、Ｃは17（答え）
Ｄについて
ＢＣＤの３つの平均は、Ｃより小さいというヒントから、Ｂ（15）＜ＢＣＤの平均＜Ｃ（17）という関係がわかる。（平均は整数とは書いてないので１６とは限らないので注意。ちなみに平均を16として考えてしまうとＤ＝16と出てくる。） Ｃは17なので、平均をちょうど17で仮定してみる（本当は１７より小さいので、少し小さくすれば答えが出てくる）と、ＢＣＤの合計は、17×3＝51より、Ｂ＋Ｃ＝32なので、Ｄは19ということになるが、これより小さいので、18が答え。Ｄ＝18
連続の数の和
全部で15個の樽（たる）を、下から１つずつ数が少なくなるように積み上げていきます。
１段目には何個の樽（たる）が並ぶか、３通りの場合を考えましょう。
解答
３段の場合 15÷3＝5より、３段の真ん中（平均）が5なので、5を中心とした１つおきの足し算を考えると、4+5+6＝15 よって、一段目は6個
４段の場合 解答なし 15÷4＝4.25より４段の真ん中（平均）が4.25を中心とした１つおきの足し算を考えると、3+4+5+6＝18 よって不適
5段の場合 15÷5＝3より、5段の真ん中（平均）が3なので、1+2+3+4+5＝15 よって、一段目は5個
よって、答えは8.6.5
★カレンダーなども連続した数なので、この問題と同じような解き方ができます。
学習スケジュール（四ツ谷大塚、日能研）
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