集合とその要素の個数
【高校数学・公式一覧まとめ】場合の数と確率《個数定理》
【高校数学・公式一覧まとめ】場合の数と確率《倍数の個数、少なくとも一方》
A={ x | xは30以下の素数 }とする。( ？ )の中に、 $ \in , \notin $ のいずれか適するものを答えましょう。
(1) 1 ( ? ) A
１は素数ではないので、要素ではない。
★集合の表し方 A={ x | xの条件 }
★記号
ＡはＢの部分集合 $ A \subset B $
要素x は集合Aに属する。 $ x \in A $
⇔要素x は集合Aに属さない。 $ x \notin A $
(2) 2 ( ? ) A
２は素数なので、含む。
{3n-2 | 1 < n < 5 ,nは整数｝の集合を,要素を書き並べて表せ。
答え { 4, 7 , 9 }
★要素の書き方は、{ }の中にカンマ（,）で区切って書けば良い。
集合{ 1 , 2 }の部分集合をすべて書け。
全ての場合を列挙するので、４パターン。
答え { $ \varnothing $ }{ 1 }{ 2 }{1 , 2}
次の集合Aと集合Bについて、 $ A \cap B $ と $ A \cup B $ を求めましょう。
A＝｛ n | nは１８の正の約数｝
B＝｛ n | nは２７の正の約数｝
B={ 1 , 3 , 9 , 27}
答え：$ A \cap B = {1 , 3 , 9}$ $ A \cup B = { 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18 , 27 }$
＊もし、共通部分が無かったら、$ A \cap B = { \varnothing }$ と答えれば良い。
次の集合の要素の個数ｎ（A）を求めなさい。
A={1，4，6，8，10，12，14，15，18}
倍数の個数
100以下の自然数のうち，5 の倍数 の個数を求めよ。
100÷5=20
20個
＊なぜ割り算をすると、倍数の個数がもとめらるのか？
５の倍数を書いてみるとよい。
５×1
５×2
…
５×20
５が20個あると、100になることがわかる。よって、100を5で割ると、20個という個数がでる。
100以下の自然数のうち，5 の倍数でない数 の個数を求めよ。
＝100－５の倍数の数
＝100－20
＝80
より 80個
100以下の自然数のうち，7 の倍数 の個数を求めよ。
よって １４個
100以下の自然数のうち，5 の倍数かつ 7 の倍数 の個数を求めよ。
５と７の最小公倍数３５の倍数を考える。
100÷35=2…
よって ２個
100以下の自然数のうち， 5 の倍数または 7 の倍数 の個数を求めよ。
20+14-2
=32
よって 32個
100以下の自然数のうち，5 の倍数であるが，7 の倍数でない数 の個数を求めよ。
20-2＝18
よって１８個
場合の数
完全順列
【高校数学・公式一覧まとめ】場合の数《完全順列、完全順列を求める公式・モンモール数》
じゃんけん
A，B の 2 人がじゃんけんをし，どちらかが 3 回勝つまでじゃんけんを続けるとする。
1 回目にAが勝つとき，勝敗のパターンは何通りあるか。
解答：10通り
サイコロ
大中小 3 つのさいころを同時に投げたとき，目の和が 6 になる場合は何通りあるか。
別解
組み合わせ(1 1 4)＋(1 2 3)＋(2 2 2)
順列 3!÷2! +3! +1 =10
解答：１０通り
＊一通り解き終わっている人は、別解のように計算で求めた方が良い。
大小 2 つのさいころを投げるとき，目の和が 4 または 5 になる場合の数を求めよ。
和が5になるのは（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）の 4 通り
これらは同時に起こらないので，
注意：「または」なので、「和集合の要素の個数」を求め方で共通部分の引き算のチェックを忘れずに。
求める場合の数は 3＋4＝7（通り）
大小 2 つのさいころを投げるとき，目の和が 4 の倍数 になる場合の数を求めよ。
２，和が 8 になるのは（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）の 5 通り
３，和が 12 になるのは（6，6）の 1 通り
これらは同時に起こらないので，求める場合の数は 3＋5＋1＝9（通り）
1 個のさいころを 2 回投げたとき，1 回目に偶数の目，2 回目に奇数の目が出る場合は何通りあるか。
そのどの場合においても，2 回目に奇数の目が出るのは 1，3，5 の 3 通り
よって，求める場合の数は 3×3＝9（通り）
約数の個数
360 の正の約数の個数と，その総和を求めよ．
360を素因数分解をすると、 $ 3^2 × 2^3 × 5 $
約数の個数は、3×4×2＝24
約数の総和は、 $ (3^0 + 3^1 + 3^2)(2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 )(5^0 + 5^1) =13×15×6 =1170 $
順列
$ {}_4 \mathrm{ P }_3 $ の値を求めよ。
$ {}_7 \mathrm{ P }_1 $ の値を求めよ。
$ {}_7 \mathrm{ P }_0 $ の値を求めよ。
＊7個の中から0個取り出して並べる方法は 1通り。
$ 5 ! $ の値を求めよ。＊この値は良く出てくるので暗記しよう！
＝１２０
5人の生徒から 2 人を選んで 1 列に並べるときの並べ方 の総数を求めよ。
NUMBERという単語のうち 6 個の文字を全部使ってできる文字列 の総数を求めよ。
1 から 7 までの数字が 1 つずつ書かれた 7 枚のカードのうち，3 枚を選んで A，B，Cの 3 人に 1 枚ずつ配るとき，配り方の総数は何通りあるか。
よって 7P3＝7･6･5＝210（通り）
6個の数字 0，1，2，3，4，5 の中から異なる 4 個を使ってできる 4 桁の奇数は何個あるか。
一の位は 1，3，5 の 3 通り
千の位は，0を除いた 4 通り
百，十の位は，残り 4 個の数字から2 個選ぶ順列で 4P2通り
よって 3×4×4P2＝3×4×4･3＝144（個）
男子 3 人，女子 2 人が 1 列に並ぶとき，両端が男子になるような並び方は何通りあるか。
そのそれぞれに対し，残り 3 人の並び方は 3 ! 通り
よって 3P2×3 !＝3･2×3･2･1＝36（通り）
「隣り合わない」パターン
男子 4 人，女子 2 人が 1 列に並ぶとき、女子が隣り合わない並び方は何通りあるか．
★男★男★男★男★
・男子の並び順は、４！＝24
・女子は、５つの★から２か所を選べばよいので、5Ｃ2×２！（5Ｐ２）＝20
よって、24×20＝480
別解
全体から女子が隣り合う場合を引き算しても良い。
SAITAMA の 7 文字を 1 列に並べるとき，子音が隣り合わない並べ方は何通りあるか．
母音の並び順 4！÷3！ × 子音の並び順は、子音を入れる間は５か所あるので 5P3
＝4×60
＝240
＊子音のSTMを固定してしまうと、例えば子音が両端に来る場合 S A T I A A M などが考えられなくなってしまうので不可。
区別のない文字の順列
a , a , b の３文字を１列に並べる方法は何通りあるか。
3！÷2！＝3通り
解説
2！で割り算をする理由：同じ数だけ割り算するから。以下詳細説明。
区別があると考えると、6通り。
a1 a2 b
a2 a1 b
a1 b a2
a2 b a1
b a1 a2
b a2 a1
しかし、実際にはa1 a2は同じ。a1 a2の順列の分（2！）だけ同じものがあるので、割り算を行う。
6 個の数字 1, 1, 1, 2, 3, 4 を 1 列に並べて 6 桁の整数を作るとき，3 が 4 より左側にある並べ方は何通りあるか．
つまり、3と4を同じ文字★とする。
６個の文字1, 1, 1, 2, ★, ★の順列は、6！÷3！÷2！＝60
よって答え60通り
図のような道のある町で，A から B までの最短経路のうち，P を通り，×を通らない ものの総数を求めよ．
Pまでの道順は、上上右右の４つの記号の順列なので、4!÷2！÷2！＝6 ＊最短で４マスで、上（右）を２マス選べば自動的に残りの右（上）が決まるので、4C2＝6でも良い。
PからBまですべての道順は、上上上右右右右の順列なので、7！÷3！÷4！＝35
よって、Pを通る道順すべては、6×35＝210
✕を通ってしまう道順は、
Pまでの道順4!÷2！÷2！ × 右の１通り × 右の１通り × 右右上上上の順列 5！÷2！÷3！
＝6×1×1×10
＝60
よって 210-60＝150通り
図のような道のある町で，A から B までの最短経路のうち，P または Q を通る ものの総数を求めよ．
Pを通る + Qを通る – PかつQを通る
＝4！÷2！÷2！×6！÷3！÷3！ + 7！÷4！÷3！×3！÷2！ – 4！÷2！÷2！×3！÷2！×3！÷2！
＝120+105-54
＝171
図のような道のある町で，最短経路は全部で何通りあるか．
★図に書き込んでいくやり方
★計算によるやり方（排反なものを足し算していく）
図のA～Dは互いに排反（Ａを通りつつＢも通れるとかない）
これらの点の見つける方法は特になく考えるしかない。
Aを通る 最短距離でＱをねらっていくので、１通りしかない。
Bを通る 4C1・4C1＝16
Cを通る Cを通るには手前のAの左隣りを通り、上に行き、Qへ 3C1・1・3C1＝9
Dを通る 4C1・4C1＝16
Eを通る 最短距離でＱをねらっていくので、１通りしかない。
よって、1+16+16+9+1＝43通り
mathematics という 11 文字から 4 文字を取って並べる方法は何通りあるか．
mm tt aa heics
同じ種類のもの２つずつ選んで（〇〇✕✕）、これらを並べる
mとaとtの３つから２つを選ぶので3C2＝3
選んだもの（〇〇✕✕）を並べるので、4！÷2！÷2！＝4C2＝6
よって、3・6＝18
同じ種類のもの１つと、違う種類２つを選んで（〇〇✕△）、これらを並べる
〇〇の選び方は、m a tの中から１つなので、3Ｃ1＝3パターン
mを選んだとして、残りの２つの選び方は、違う文字７文字（t a h e i c s）から２つ選ぶので7Ｃ2＝21通り
選んだ後、〇〇✕△を並べるので、4！÷2！＝12
よって、3・21・12＝756
すべて違う文字を選んで（〇✕△◎）、これらを並べる
mtaheicsの8文字から4文字選んで並べるので、8P4＝1680
よって、18+756+1680＝2454
DEFENSEの7文字から4文字を取って並べる方法は何通りあるか．
★７P４とやりたいところだが、同じ文字が含まれるので、場合分けをする必要がある。場合分けの仕方として、「重複」度合で行うと良い。
すべて異なる文字場合（E D F N S）
５文字から４文字を並べるので、5P4＝120
Eが２つ含まれる場合（E E 〇✕）
まず組合せを考えると、EEは確定しているので1通り。残りの２文字は、E以外の４文字から選ぶ 4C2＝6
＊別解：６通りくらいなら樹形図で数えてもよい（EEDF）（EEDN）（EEDS）（EEFN）（EEFS）（EENS）
これら４文字を選んだ後の順列、つまり並べ方を考えると、4！÷2！＝12
よって、選び方・並べ方＝6・12＝72
Eが３つ含まれる場合（E E E 〇）
まず組合せを考えると、（EEED）（EEEF）（EEEN）（EEES）の４通り
これら４文字を選んだ後の順列、つまり並べ方を考えると、4！÷3！＝4
よって、選び方・並べ方＝4・4＝16
よって、120+72+16＝208
YOKOHAMAの8文字を１列に並べるとき、Y K H M がこの順にあるものは何通りあるか。
8！÷4！÷2！÷2！＝420
4桁の自然数n の千の位,百の位,十の位,一の位の数字を,それぞれa,b,c,dとする。a > b > c > d の条件を満たす n は全部で何個あるか。
10C4＝210
4桁の自然数n の千の位,百の位,十の位,一の位の数字を,それぞれa,b,c,dとする。a ≧ b > c > d の条件を満たす n は全部で何個あるか。
上記問題と同じなので、10C4＝210
a ＝ b > c > d の場合
「★★〇△」：異なる３種類の文字を0〜9の10個の数字から選べばよい。（選んだ後は、一番大きい数字★を百の位と千の位とする作業を自分ですればいい。）
10C3＝120
よって、210+120＝330個が正解
円順列
A，B，C，D，E の 5 人が円形に並ぶとき，並び方の総数 を求めよ。
１人（誰でも良い）を固定すると，求める場合の数は残りの 4 人の順列である。
よって 4 !＝4･3･2･1＝24（通り）
A，B，C，D，E の 5 人が円形に並ぶとき，A と B が隣り合う並び方の総数 を求めよ。
この４人のうち、1人を固定して（誰でも良い）、残り３人の順列を考えればよい。
よって、A と B の順列（２！）×残り３人の順列より、 3 !×2 !＝3･2･1×2･1＝12（通り）
両親と子供 4 人の 6 人が円形のテーブルに向かって座るとする．
両親が隣り合わない座り方は何通りあるか．
どの解き方でも良いが、数学は考え方が大事。
① 全体5! – 親が隣り合う 4!×2 ＝72通り。
②「間に入れる方法」は、誰でも良いので固定する人を決める。
・子供を固定すると、子供の並び順3！× 親の入り方4P2 よって、72通り。
・親を固定すると、子供の並び順4！ × 親の入り方3P1 よって、72通り。
父，母，息子 2 人，娘 2 人が円形のテーブルに向かって座るとする．
女性が隣り合わない方法は何通りあるか．
・女性のうちだれかを固定する。男性の並び順は 3! 女性が隣り合わないような男性の間２か所に女性を入れるので、2P2 よって、3！×2P2＝12通り。
・男性のうちだれかを固定する。男性の並び順は 2! この男子の間３か所に女性を入れるので、3P3 よって、2！×3P3 ＝12通り。
全体から女性が隣り合う場合を引き算する方法
女性が隣り合うパターンは
①3人のうち2人だけ隣り合う 全体の並びは4！ × 隣り合う女性を3人から選んで並べる組み合わせ3C2
②3人とも隣り合う 女性が隣り合う(女性を固定) 3! × 男性の並び順 3!
全体5! – ①72 -②36
=120−108
＝12
父，母，息子 2 人，娘 2 人が円形のテーブルに向かって座るとする．
両親が向かい合う方法は何通りあるか．
残りの４人の順列になるので、４！＝24通り。
6 人の家族を6 人から 4 人選んで円形のテーブルに座らせる方法は何通りあるか．
「選んだ４人の円順列」→ (4-1)!=6
よって、15・6＝90通りが正解。
別解
６人から４人を選んで並べる 6P4＝360
しかし、円形に並べるので、重複するものを消さないといけない。どのくらい重複するのかは、４人なので、それぞれ４パターン出てくる（aが北、aが東、aが南、aが西）。
よって、360÷4＝90通り
6 人の家族を図のようなテーブルに座らせるに座らせる方法は何通りあるか．
＊公式の（ｎー１）！もこの理由による（６人の円順列なら、６通り同じものが出てくるので÷６をする。よって、６！÷６＝５！）。
この問題の場合、テーブルごと回転させてみて同じものになるものを考えると、対称の位置の２通りしかない。
６！÷２＝360
黒玉 1 個，赤玉 2 個，白玉 4 個がある．机の上に円形に置いて並べるとき，並べ方は何通りあるか．
黒玉１個を固定すると、残りの赤玉 2 個，白玉 4 個（合計６個）の順列を考えれば良いので、6！÷4！÷2！＝15通り ＊6C2＝15でも良い。
別解
・黒玉ではなく、赤球を固定する。本来、基本問題であれば、固定したらいくら回転させても同じものが出ないが、赤が２個あることで、２つずつ重複する場合が出てきてしまう。
よって、残りの黒玉１個、赤球１個、白球４個の順列 ÷２
＝6！÷4！÷２
＝15通り
・同様に、黒玉ではなく、白球を固定しても４個あるので、同じものが４つずつ出てきてしまう。
よって、残りの黒玉１個、赤球２個、白球３個の順列÷４
＝6！÷2！÷3！÷４
＝15通り
じゅず順列
異なる 6 個の球をつなげて首飾りを作ると何通りできるか。
円順列÷２をすれば良い。
異なる 6 個の球を円形に並べる方法は 5 ! 通り
これを首飾りにしたとき，裏返すと同じ並び方になるものが 2 通りずつあるので、÷２をする。
5 !÷２＝＝60（通り）
黒玉 1 個，赤玉 2 個，白玉 4 個がある．糸を通して首飾りを作るとき，何通りの首飾りができるか．
たとえば、（a b b ）の円順列は、１通り。この円順列をじゅずにしても重複がないので１通り（÷２をしてはいけない。）
まず円順列を考えると、黒を固定して、残りの赤玉 2 個，白玉 4 個（合計６個）の順列なので、6！÷4！÷2！＝15通り。
この中で、線対称はじゅず順列にしても重複しないので、÷２をしないものとなる。線対称を排除してから÷２を行う。
よって、線対称は、３パターン。
15-3＝12
残りの
12通りは線対称ではないので、じゅずにすると重複する。よって、12÷2＝6通りが答え。
白玉1個,赤玉4個,青玉6個で環状の首飾りを作る。作り方は全部で何通りあるか。
まず円順列を考えると、
白球を固定する。残りの10個（赤玉4個,青玉6個）の順列となるので、10！÷4！÷6！＝210
次に線対称なものを考えると、10通り
じゅず順列を考えると、
（210-10）÷2＝100
最後に線対称なものを足し算するのを忘れずに 100+10＝110 これが正解
白玉1個,赤玉4個,青玉6個で環状の首飾りを作る。どの2個の赤玉も隣り合わないことにすると,作り方は何通りあるか。
まず円順列を考えると、
白球を固定する。隣り合わないパターンは、「間に入れる」ことを考える。
図より、7C4＝35 …順列でもある。
次に線対称なものを考えると、
3C2＝3
じゅず順列を考えると、
（35-3）÷2+3＝16+3＝19 これが正解
重複（ちょうふく）順列
5問の問題の解答を○か×で答えるとき，5 問の○，×の答え方は何通りあるか。
よって，求める場合の数は $ 2^5＝32（通り） $
0，1，2，3 の 4 個の数字を，重複を許して使って整数を作るとき， 4 桁の整数 は何個できるか。
それ以外の位は4通り
よって，求める個数は $ 3×43＝192（個） $
0，1，2，3 の 4 個の数字を，重複を許して使って整数を作るとき， 4 桁の偶数 は何個できるか。
一の位は 0，2 の 2 通り
残りの位はそれぞれ 4 通り
よって，求める個数は $ 3×2×42＝96（個） $
7 種類の異なる果物がある．これらを組み合わせて最大 7 個の果物が入ったセットを1 つ作りたい．何通りのセットができるか．ただし，最低でも 1 つの果物は入れることとし，同じ種類の果物を 2 個以上入れないものとする．
つまり、 $ 2^7 = $ 通り。
ただし，最低でも 1 つの果物は入れるの、すべて入れない（0個）の１パターンを除く。
よって、127通り
組合せ
次の値を求めよ。 $ {}_8 \mathrm{ C }_3 $
次の値を求めよ。$ {}_6 \mathrm{ C }_4 $
＝15
次の値を求めよ。$ {}_5 \mathrm{ C }_1 $
次の値を求めよ。$ {}_5 \mathrm{ C }_0 $
10 人の生徒から 4 人を選ぶときの選び方 の総数を求めよ。
正六角形の 6 個の頂点のうち，3 点を結んでできる三角形 の総数を求めよ。
男子 7 人，女子 5 人の中から 3 人を選ぶとき，男女問わず 3 人選ぶ 選び方はそれぞれ何通りあるか。
男子 7 人，女子 5 人の中から 3 人を選ぶとき，男子 1 人，女子 2 人を選ぶ 選び方はそれぞれ何通りあるか。
女子の選び方は $ {}_5 \mathrm{ C }_2 $
よって，求める選び方は $ {}_7 \mathrm{ C }_1 * {}_5 \mathrm{ C }_2 = 70 $
男子 7 人，女子 5 人の中から 3 人を選ぶとき，男子が少なくとも 1 人含まれるように選ぶ 選び方はそれぞれ何通りあるか。
（全体の総数）－（～ではない場合の数の総数：排反）
男子が 1 人も選ばれないのは，女子 5 人から 3 人を選ぶときで $ {}_5 \mathrm{ C }_3 $
よって，求める場合の数は $ 220-{}_5 \mathrm{ C }_3 = 210 $
男子 6 人，女子 4 人から ある特定の 1 人 a を含むように4 人選ぶ方法は何通りあるか．
よって、9C3＝84
男女ともに 5 人の合計 10 人から 5 人を選ぶ．男子 3 人，女子 2 人を選び，1 列に並べる方法は何通りあるか．
＝10×10
＝100
５人選んだ後、並べるので、5！＝120
よって、100×120＝12000
正六角形について，正六角形の頂点のうちの 3 個を頂点とする三角形ののうち，もとの正六角形と辺を共有しないものの個数を求めよ．
まず正六角形の頂点をつかってできる三角形の総数は、6C3＝20
１辺を共有しているものが各辺２個ずつあるので12個
２辺を共有しているものが6個
よって、20-12-6＝2
★図を書く方法
図より2個
6 個の数字 0，1，2，3，4，5 から異なる 3 個を用いて 3 桁の整数をつくる．3 の倍数のものは何個できるか．
３の倍数になるのは、各位を足して３の倍数になる場合なので、以下の7組ある。
各位を足して3 になるのは、(0 1 2)
各位を足して6 になるのは (0 1 5) (0 2 4) (1 2 3)
各位を足して9 になるのは、(0 4 5) (1 3 5) (2 3 4)
各位を足して12 になるのは、(3 4 5)
これら7組の順列を考えると、
(0 1 2)の順列を考えると、2・2＝4
(0 1 5)の順列を考えると、2・2＝4
(0 2 4)の順列を考えると、2・2＝4
(1 2 3)の順列を考えると、3！＝6
(0 4 5)の順列を考えると、2・2＝4
(1 3 5)の順列を考えると、3！＝6
(2 3 4)の順列を考えると、3！＝6
(3 4 5)の順列を考えると、3！＝6
よって、16+24=40通り
自然数 n，r に対して， $ {}_n \mathrm{ C }_r = {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} + {}_{n-1} \mathrm{ C }_r $ が成り立つことを証明せよ．
そして、特定の自然数の選び方は、ある数を選ぶ場合と選ばない場合の２通りだけなので、これら２つの場合を考える。
特定の自然数、たとえば１を選ぶ場合、残りのn-1個の中からr-1個選ぶことになるので、 $ {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} $ 通り
特定の自然数、たとえば１を選ばない場合、１を除く残りのn-1個の中からr個選ぶことになるので、 $ {}_{n-1} \mathrm{ C }_r $ 通り
したがって、$ {}_n \mathrm{ C }_r = {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} + {}_{n-1} \mathrm{ C }_r $
組分け
8 個の異なるお菓子を 5 個，2 個，1 個の 3 組に分ける 方法は何通りあるか．
「区別なしの場合」は、重複する分を割り算する必要がある。
★「5 個，2 個，1 個」という組は区別ができる場合として考える。
計算を簡単にするために後ろから
8個から1個選び 8C1＝8
残りの7個から2個選ぶと 7C2＝21
自動的に残りの5個の選び方は 1通り
よって、8×21＝168通り
＊最初から順番に 8C5×8C2＝168 でも良い。
8 個の異なるお菓子を 2 個ずつ 4 人の子供に分ける 方法は何通りあるか．
「区別なしの場合」は、重複する分を割り算する必要がある。
★問題文に「4人の子供」とあるので、子供は一人ひとり違うから、４つを区別して考える。
8個から2個選び 8C2
残りの6個から2個選び 6C2
さらに残りの4個から2個選ぶと 4C2
最後は1通り
よって、8C2×6C2×4C2＝2520
8 個の異なるお菓子を 4 個ずつ 2 組に分ける 方法は何通りあるか．
「区別なしの場合」は、重複する分を割り算する必要がある。
★「2組」とあるので、2つを区別なしで考える。区別なしの場合、重複する分があるので、割り算する必要がある。
8個の中から4個選べばよいので 8C4
残りは自動的に 1通り
2組なので、重複する分は2！なので、2！で割り算する
よって、8C4÷2！＝35
9 人を 5人，2 人，2 人の 3 組に分ける方法は何通りあるか．
「区別なしの場合」は、重複する分を割り算する必要がある。
★「3組」と書いてあるので、「区別なしの場合」であり、同じ人数のクラスのみ重複が生まれる。（2人2人の部分）
9人から2人選ぶ 9C2
残りの7人から2人選ぶと 7C2
さらに残りは自動的に 1通り
この2クラスは重複するので、÷2！
よって、9C2×7C2÷2！＝378
＊最初に9人から5人選び、残りの4人から2人選ぶ計算でもよい。 9C5×4C2÷2！＝378
8 人の子供を2 人，2 人，2 人，1 人，1 人の 5 組に分ける方法は何通りあるか．
「2 人，2 人，2 人」の部分は区別がなく、また「1 人，1 人」の部分も区別がない。
8C2・6C2・4C2 ÷3！÷2！＝420が正解
＊6 個の異なる玉（①②③④⑤⑥）をA，B 2 つの箱に分ける方法は何通りあるか．ただし，空箱がないようにするものとする．
６個それぞれが「AかBか」という２パターンの可能性があるので、 $ 2^6 = 64 $ しかし、空箱がないようにするので、Aが空とBが空という２通りを引き算して、62通りが答え。
＊6 個の異なる玉（①②③④⑤⑥）を2 つに分ける方法は何通りあるか．ただし，空箱がないようにするものとする．
（１）との違いは、「AB」という区別がついていないので、同じ組み合わせが出てくる。例えば、（①②③｜④⑤⑥）と（④⑤⑥｜①②③）が重複する。
よって（１）÷2！をすれば良い。62÷2！＝31通りが答え。
＊6 個の異なる玉（①②③④⑤⑥）をA，B，C 3 つの箱に分ける方法は何通りあるか．ただし，空箱がないようにするものとする．
６個それぞれ「AかBかCか」という３パターンの選択肢があるので、 $ 3^6=729 $
空箱がないようにするので、空箱が２つの場合は【ABが空で残りの６個すべてC、ACが空で残りの６個すべてB、BCが空で残りの６個すべてA】の３パターン、空箱が１つの場合は【Aが空箱でBCに６個の玉が入る62パターン、Bが空箱でACに６個の玉が入る62パターン、Cが空箱でBAに６個の玉が入る62パターン】合わせて186パターンを引き算をする。
よって、729-3-186=540通りが正解。
重複組合せ
りんご，みかん，メロンの 3 種類の果物から，重複を許して 6 個を取る組合せは何通りあるか．ただし，1 つも取らない果物があってもよいとする．
公式
$ \displaystyle {}_n H_k = {}_{n+k-1} C_k = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $
$ = \displaystyle {}_3 H_6 = {}_{3+6-1} C_6 = {}_{3+6-1} C_6 = {}_8 \mathrm{ C }_2 = 28 $
別解
★６個取るという個数は決まっているが、分け方の種類が決まっていない場合は仕切りを使うと良い。仕切りの数は、3種類なら2個、つまりｎ-1した数になる。
〇〇｜〇〇〇｜〇 仕切り２個と６個の記号の順列を考えれば良い。
＊3 カ所の〇の個数を，左から順にりんご，みかん，メロンの個数とする。
よって、8！÷6！÷2！＝28
桃 5 個を 7 人に分ける方法は何通りあるか．ただし，桃を 2 個以上もらう人や，1 個ももらわない人がいてもよい．
５個＋６個の仕切りの順列を考える。
よって、11！÷5！÷6！＝462
等式 ×+y+z=7 を満たす負でない整数x,y,zの組は,全部で何個あるか。
「３種類の文字 x y z から重複を許して７個とる」という重複組合せの問題と考えることができる。
たとえば、ｘを３個、ｙを３個、ｚを１個とると、合計７個の文字をとったことになる。
公式
$ \displaystyle {}_n H_k = {}_{n+k-1} C_k = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $
$ = \displaystyle {}_3 H_7 = {}_{3+7-1} C_7 = {}_9 \mathrm{ C }_2 = 36 $
別解
★組合せと順列で考える方法
組合せを考えると、
（1 1 5）（1 2 4）（1 3 3）（1 6 0）（2 2 3）（2 5 0）（3 4 0）（7 0 0）
これらの順列を考えると、
（1 1 5）＝3！÷2！＝3
（1 2 4）＝3！＝6
（1 3 3）＝3
（1 6 0）＝6
（2 2 3）＝3
（2 5 0）＝6
（3 4 0）＝6
（7 0 0）＝3
3・4+6・4＝12+24＝36 これが正解
別解
★しきりの問題として考える
「７個の１（１＋１＋１＋１＋１＋１＋１）をしきり２つ｜｜を使った順列」の問題として考えることができる。
9！÷7！÷2！＝36
あるいは、９か所の場所（〇〇〇〇〇〇〇〇〇）に、７個の「１」と、２つのしきりを入れる問題として考えることができる。
よって、9C2＝36
＊７個の「１」の間（８か所の場所）に、２つのしきりを入れるとして考えると、0＋0＋７などを考えることができないので不可。
等式 x+y+z=12 を満たす正の整数x,y,zの組は,全部で何個あるか。
正の整数なので０は含まれないことから、公式の問題として考える場合も必ず１つはxyzを使うようにする。
確定でxyzの１つずつ使うので、
残りの「９個をxyzの３種類のものから、重複を許して選ぶ問題」として考えることができる。
公式
$ \displaystyle {}_n H_k = {}_{n+k-1} C_k = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $
$ = \displaystyle {}_3 H_9 = {}_{3+9-1} C_9 = {}_11 \mathrm{ C }_2 = 55 $
★しきりの問題として考える
正の整数なので０は含まれないことから、しきりとして考える場合も必ず１つはxyzを使うようにする。
確定でxyzの１つずつ使うので、
残りの9個（１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１）としきり２個｜｜の順列を考えればよい。
よって、11！÷9！÷2！＝11・10÷2＝55
★しきりの問題として考える
正の整数なので０は含まれないことから、しきりとして考える場合も必ず１つはxyzを使うようにする。
１２個（１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１）の間にしきりを入れる考え方をして、11C2をすれば良い。
★組合せと順列で考える方法もある
足し算で12になる組合せ（1 2 9）などを考えたあとに、順列を考えれば良い。
1個のさいころを3回投げて出る目の数を順にa,b,cとする。a≦b≦c になる場合は何通りあるか。
「１～６の目という６種類の数字から、３つ重複を許して取り出す問題」として考えことができる。
公式
$ \displaystyle {}_n H_k = {}_{n+k-1} C_k = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $
$ = \displaystyle {}_6 H_3 = {}_{6+3-1} C_3 = {}_8 \mathrm{ C }_3 = 56 $
別解
★組合せの問題として考える
a＜b＜cの場合は、６つの目から３つ選べばよい（選んだ後は自分で好きに並べる） 6C3=20
a＝b＝cの場合は、（1 1 1）（2 2 2）…の６通りしかない
a＝b＜cの場合は、６つの目から２つ選べばよい（選んだ１つを自分でa＝bにすればいい） 6C2=15
a＜b＝cの場合は、６つの目から２つ選べばよい（選んだ１つを自分でb＝cにすればいい） 6C2=15
よって、20+6+15+15=56
確率
場合の数では重複するものを排除していたのに、なぜ確率だと全てを区別して考えるのか？
赤 青 青の玉の順列（場合の数）を考えると、3！÷2！＝3パターン
つまり、場合の数としては、（赤青青）（青赤青）（赤青青）の３パターンのみとして考えてきた。（見かけ上、青色で同じだから）
しかし、実際は、たとえば（赤青1青2）（赤青2青1）は、別々に出る可能性があり、青1と青2は、見かけ上同じだからといって、重複すると考えて排除してしまうと、正確な確率を出すことはできない。
もっとわかりやすい例（当たり1本、外れ100本のくじの中から１本選ぶ場合の数）
場合の数→上と同じように考えると、見かけ上はずれくじは区別できないので重複すると考えると、くじのパターンとしては「当たり」と「外れ」の２通りしかない。
それでは、当たる確率は $ \frac{1}{2} $ ？？
確率→見かけ上重複するものであっても、「そのパターンの頻度」が知りたいので、すべて区別して考える。よって当たる確率は $ \frac{1}{101} $
3 つのさいころを同時に投げるとき，目の和が 5 になる確率を求めましょう.
和が5になる組合せは、（1 1 3）（1 2 2）
この順列を考えると、
（1 1 3）→3！÷2！＝3通り
（1 2 2）→3！÷2！＝3通り
よって、 $ \frac{6}{216} = \frac{1}{36} $
1個のさいころを3回投げるとき,何回目かにその回の番号と同じ目が出る確率 の確率を求めよ。
★場合分けの考え方
★余事象の考え方
1個のさいころを3回投げるとき,どの回にもその回の番号と同じ目が出ないで,しかも1の目が1回も出ない確率 の確率を求めよ。
HIROSI の 6 文字を 1 列に並べるとき，母音と子音が交互に並ぶ確率を求めましょう.
＊5！＝120は暗記しよう。
＊確率は場合の数と違って、同じものがあっても区別して考える。「I」が重なるからといって、÷2！はやらないように。
分子は、母子母子母子＋子母子母子母の２パターン
母子母子母子→3！×3！＝36
子母子母子母→3！×3！＝36
よって $ \frac{72}{720} = \frac{1}{10} $
SAPPORO の 7 文字を 1 列に並べるとき，母音と子音が交互に並ぶ確率を求めよ．
子音はSPPR
交互になる場合は、子母子母子母子しかない。
4！×3！
分母は7！
＊確率は場合の数と違って、同じものがあっても区別して考える。「OO」や「PP」が重なるからといって、÷2！はやらないように。
よって、$ \frac{4！×3！}{7！} = \frac{1}{35} $
aのカードが 5 枚，bのカードが 4 枚，cのカードが 3 枚，合計 12 枚のカードがある．
この中から同時に 3 枚のカードを取り出すとき，3 枚中 2 枚のみ同じ数のカードである確率を求めよ．
分母
12C3＝220
分子
aが同じ 5C2 × 残りa以外の１枚 7C1 = 10*7 =70
bが同じ 4C2 × 残りb以外の１枚 8C1 = 6*8 =48
cが同じ 3C2 × 残りc以外の１枚 9C1 = 3*9 =27
70+48+27=145
よって、$ \frac{145}{220} = \frac{29}{44} $
★余事象を使った方法
「3 枚中 2 枚のみ同じ数」という事象は「3 枚のカードの数がすべて同じ または すべて異なる」という事象の余事象
3 枚のカードの数がすべて同じ
3枚ともa 5C3=10
3枚ともb 4C3=4
3枚ともc 3C3=1
10+4+1=15
3 枚のカードの数がすべて異なる
5C1×4C1×3C1＝60
$ 1-\frac{75}{220} = \frac{145}{220} = \frac{29}{44} $
じゃんけんの確率
3 人で 1 回じゃんけんをするとき，1 人だけが勝つ確率 を求めよ．
３人がそれぞれグーチョキパー３種類の出し方があるので、３×３×３＝27
分子
３人のうちの１人の選び方 3C1 × 勝ち方（グーチョキパー）3パターン
3×3
よって、$ \frac{1}{3} $
★じゃんけんは、【だれが？×どんな手で？】で分子を求める。
3 人で 1 回じゃんけんをするとき，あいこになる確率 を求めよ．
分母
３人がそれぞれグーチョキパー３種類の出し方があるので、３×３×３＝27
分子
全員がグー、全員がチョキ、全員がパーの３通り
全員がそれぞれグーチョキパーの６通り
（グー チョキ パー）（グー パー チョキ）
（チョキ グー パー）（チョキ パー グー）
（パー グー チョキ）（パー チョキ グー）
全部で９通り
よって、$ \frac{1}{3} $
★余事象で計算しても良い。
1-１人が勝つ確率-２人が勝つ確率
＝1-【３人のうちの１人の選び方 3C1 × 勝ち方（グーチョキパー）3パターン】-【３人のうち２人の選び方3C2 × 勝ち方3パターン】
＝$ \frac{1}{3} $
A，B，C，D の 4 人で 1 回じゃんけんをするとき，A だけが負ける確率を求めよ．
Aがチョキのとき、全員グー
Aがパーのとき、全員チョキ
３パターンのみ
よって、$ \frac{3}{3×3×3×3} = \frac{1}{27} $
A，B，C，D の 4 人で 1 回じゃんけんをするとき，あいこになる確率を求めよ．
1-３人が勝つ確率-２人が勝つ確率-１人が勝つ確率
＝1 -4C3×3 /81 -4C2×3 /81 -4C1×3 /81
よって、$ \frac{13}{27} $
★余事象を使わない方法
あいこになるのは、
全員同じ手 グーチョキパーの３通り
３人が違う手（２人が同じ手になる） 同じ手の人を4人の中から2人を選んで 5C2 × それぞれ違う手になる3！
＝6*6
＝36
よって、あいこになるのは、3+36＝39通り
確率は、$ \frac{39}{81} = \frac{13}{27} $
独立な試行の確率
発芽率80%の種Aと,発芽率75%の種Bを1粒ずつ花壇に植えたとき,A, Bのうち少なくとも一方が発芽する確率を求めよ。
反復試行
同じ条件のもとで，同じ試行を繰り返し行うとき，各回の試行は独立である。
このような試行をまとめて「反復試行」という。
1 個のさいころを 5 回投げるとき，3 の倍数の目が 3 回以上出る確率を求めよ．
ちょうど3回出る確率 $ \frac{1}{3} × \frac{1}{3} × \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} × 5C3 $
＋ちょうど４回出る確率 $ \frac{1}{3} × \frac{1}{3} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} × 5C4 $
＋ちょうど５回出る確率 $ \frac{1}{3} × \frac{1}{3} × \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} × 5C5 $
＝$ \frac{40}{243} + \frac{10}{243} + \frac{1}{243} $
＝$ \frac{51}{243} = \frac{17}{81} $
1 個のさいころを 4 回投げるとき，4 回目に 2 度目の 5 の目が出る確率を求めよ．
１回目～３回目までは、５の目が１回と、５以外の目が２回なので、$ \frac{1}{6} × \frac{5}{6} × \frac{5}{6} × 3C1 $
よって、これらを掛け算して、$ \frac{1}{6} × \frac{25}{216} × 3 = \frac{25}{432} $
図において，点 P は A を出発点として確率 $ \frac{2}{3} $ で右回りに１つ次の点に移り，確率 $ \frac{1}{3} $ で左回りに 1 つ次の点に移る．
3 回の移動で，点 P が点 B にいる確率を求めよ．
＋左右右 $ \frac{1}{3} × \frac{2}{3} × \frac{2}{3} × 3C1 $
＝ $ \frac{1}{27} + \frac{4}{9} = \frac{13}{27} $
1個のさいころを7回投げるとき,1の目が3回,2の目が2回,その他の目が2回出る確率を求めよ。
反復試行（同じものを含む順列）
条件付き確率
事象 A が起こったとわかっているときの，事象 B が起こる確率を，
A が起こったときの B の起こる「条件付き確率」といい、PA（B）と表す。
条件付き確率のイメージ
当たりくじ 4 本を含む20本のくじがある。引いたくじはもとに戻さないとして，1 本ずつ 2 回続けてくじを引く。
このとき1 回目に当たりくじを引いたとき，2 回目も当たりくじを引く確率を求めよ。
すでに当たりくじが１本無くなった19本の中から3本の当たりくじを引く確率を考えれば良い。
よって、$ \frac{3}{19} $
当たりくじ 4 本を含む20本のくじがある。引いたくじはもとに戻さないとして，1 本ずつ 2 回続けてくじを引く。
このとき2 回とも当たりくじを引く確率を求めよ。
$ \frac{4}{20} × \frac{3}{19} = \frac{3}{95} $
当たりくじ 4 本を含む20本のくじがある。引いたくじはもとに戻さないとして，1 本ずつ 2 回続けてくじを引く。
このとき2 回目に当たりくじを引く確率を求めよ。
１回目はハズレ × ２回目に当たり
１回目は当たり × ２回目も当たり
これらは互いに排反なので、足し算をすれば良い。
$ \frac{16}{20} × \frac{4}{19} + \frac{4}{20} × \frac{3}{19} = \frac{1}{5} $
白球 5 個と赤球 3 個が入った袋から球を 1 個取り出し，それをもとに戻さずもう 1 個取り出す．
1 回目に白球が出たとき，2 回目に赤球が出る確率を求めよ．
「1 回目に白球が出たとき」として、確定しているのでこれを前提に（分母）して考える。
白球が出たので、残りは７個のうちから赤球が出る確率を求めればよい。
よって、$ \frac{3}{7} $
箱Aには赤玉が2個,箱Bには赤玉と白玉が1個ずつ,箱Cには白玉が2個入っている。無作為に1つの箱を選んで玉を1個取り出したら赤玉であった。このとき,選んだ箱の中のもう1個の玉が赤玉である確率を求めよ
原因の確率（条件付き確率）
ある病原菌の検査試薬は,病原菌に感染しているのに誤って陰性と判断する確率が1%,感染していないのに誤って陽性と判断する確率が2%である。全体の1%がこの病原菌に感染している集団から1つの個体を取り出すとき,「陽性だったときに,実際には病原菌に感染していない確率」を求めてみよう。
公式一覧
テスト前にご活用ください。
集合の表し方
★集合の表し方 A={ x | xの条件 }
★記号 BはAの部分集合 $ B \subset A $
★記号 要素x は集合Aに属する。 $ x \in A $
★記号 要素x は集合Aに属さない。 $ x \notin A $
集合の個数の表し方
集合 A の個数が2個のとき、numberの頭文字を使って、$ n（A）= 2 $ と表す。
空集合∅のとき、 $ n（ ∅ ）= 0 $
和集合の要素の個数
$ n（A∪B）＝n（A）＋ n（B）－ n（A∩B） $
補集合の要素の個数
$ n ( \overline{ A } )= n（U）- n（A） $
＊全体集合 universal set
和の法則
2 つの事象AとBは同時に起こらないとする。
Aの起こり方が a 通り，Bの起こり方が b 通りあるとき，
AまたはBが起こる場合の数は a＋b 通りである。
積の法則
事象 X の起こり方が x 通りあり，
そのいずれの場合についても事象 Y の起こり方が y 通りあるとき，
事象 X と Y がともに起こる場合の数は x y 通りである。
約数の個数、総和
★約数の個数
ある自然数 N が， $ N ＝ p^a q^b r^c …… $ と素因数分解されるとき，
N の正の約数の個数は，積の法則により
$ (a+1)(b+1)(c+1)… $ と表される。
例 １８の約数の個数
１８を素因数分解すると、 $ 2^1 × 3^2 $
つまり、作ることができる約数の個数は、2×3=6個
★約数の総和
ある自然数 N が， $ N ＝ p^a q^b r^c …… $ と素因数分解されるとき，
N の正の約数の個数は，因数分解により
$ (p^0 + p^1 + … p^a )(q^0 + q^1 + … q^b )… $ と表される。
例 １８の約数の総和
１８の約数をそれぞれ足し算すると、式 18+9+6+3+2+1=39
これを素因数分解した式にすると、式 $ 2^1 × 3^2 + 2^0 × 3^2 + 2^1 × 3^1 + 2^0 × 3^1 + 2^1 × 3^0 + 2^0 × 3^0 $
１８： $ 2^1 × 3^2 $
９： $ 2^0 × 3^2 $
６： $ 2^1 × 3^1 $
３： $ 2^0 × 3^1 $
２： $ 2^1 × 3^0 $
１： $ 2^0 × 3^0 $
これを因数分解すると、式 $ 2^1 × (3^2 + 3^1 + × 3^0) + 2^0 × (3^2 + 3^1 + 3^0 ) = (2^0 + 2^1 )(3^2 + 3^1 + 3^0 )$
順列の総数
異なる n 個のものから，異なる r 個を取って並べる順列
= n 個のものから r 個取る順列
$ nPr＝n（n－1）（n－2）…（n－r＋1） $
＊r＝0 のときも成り立つように $ nP0＝1 $ と定める。
＊順列 p 意味
|
|
Permutation順列
|
階乗 n !
$ n ! ＝n（n－1）（n－2）… 3･2･1 $
0 ! ＝1 と定める.
nPr を階乗を使って表す
$ nPr = \frac{ n !}{（n－r）!} $
円順列
異なる n 個のものの円順列の総数
$ (n-1)! $
★なぜ ―1 するのか？
２通りの考え方がある。
・１つ固定した分を引き算するから。残りの順列を考えればよい。
・人数分だけ、同じパターンが回転するから（３人なら、aが北、aが東、aが西という３つ同じものが出てくるので÷３。よって、３！÷３＝２！となる。）
じゅず順列
「じゅず順列」とは、円順列において，裏返すと同じになるものを同じ並び方とみなすとき，その順列のこと。
異なる n 個のもののじゅず順列の総数は、
円順列 ÷２ ＊裏返すと同じ並び方になるものが 2 通りずつあるので ÷２をすればよい。
つまり、 $ \frac{(n-1)!}{2} $
＊同じ文字（線対称）がある円順列の場合、この円順列をじゅずにしても重複しないので、÷２はしない。
たとえば、（a b b ）の円順列は、１通り。じゅず順列にしても重複しないので、１通り（÷２をしてはいけない。）
重複（ちょうふく）順列
重複順列とは、同じものを繰り返し使ってもよいときの順列をいう。
異なる n 個から r 個取る重複順列の総数は
$ n^r $
組合せ
組合せとは、いくつかのものから，取り出す順序を無視して取り出して組にしたものをいう。
異なる n 個のものから，異なる r 個を取る組合せの総数
$ {}_n \mathrm{ C }_r = \frac{{}_n \mathrm{ P }_r}{r!} = \frac{n（n－1）（n－2）……（n－r＋1）}{ r(r－1）……3･2･1} $
n 個のものから r 個のものを選ぶことは，選ばない（n－r）個を決める
ことと同じである。よって
$ {}_n \mathrm{ C }_r = {}_n \mathrm{ C }_(n-r) $
重複組合せ
異なるn個のものから重複を許してr個とる組合せのこと。
$ \displaystyle {}_n H_k = {}_{n+k-1} C_k = \frac{(n+k-1)!}{k! (n-1)!} $
反復試行
同じ条件のもとで，同じ試行を繰り返し行うとき，各回の試行は独立である。
このような試行をまとめて「反復試行」という。
ｎ 回の試行で事象 A が起こる確率を p とする。
この試行をｎ 回繰り返し行う反復試行で，A がちょうど r 回起こる確率は
$ {}_n \mathrm{ C }_r p^r (1-p)^{n-r} $
条件付き確率
全事象が U である試行において，事象 A が起こったときの事象 B が起こる条件付き確率 PA（B）は
$ P_{ A }(B) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} $ …場合の数で式を作っても良いし
$ P_{ A }(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $ …確率で式を作っても良い。なぜなら、分母は約分で消えるから同じ結果になる。
これらを式変形すると、$ P(A \cap B) = P(A)× P_{ A }(B) $