【高校数学B】統計的な推測《確率分布、確率変数の期待値・分散・変換、同時分布、二項分布、正規分布、標準化、標本平均、信頼区間、仮説検定など》

【高校数学B】～目次一覧～

第1章　数列
等差数列
等比数列
種々の数列
漸化式と数列
種々の漸化式
数学的帰納法

第2章 統計的な推測　⇒現在はここのページ
確率変数と確率分布
確率変数の和と積,二項分布
正規分布
母集団と標本
推定
仮説検定

【高校数学B】統計的な推測《確率分布、確率変数の期待値・分散・変換、同時分布、二項分布、正規分布、標準化など》

確率変数の変換 Y=aX+b

「確率変数の変換」のポイント
Y = aX+b
このような確率変数Y の期待値や分散を求めたいときに、
いちいち確率変数Y の確率分布の表を書いて、計算しなくても、
よりシンプルな確率変数Xだけを計算して求めれば、定数aをかけて、定数bを足し算すればYが求められる。

同時分布

確率変数の和の期待値

公式
確率変数の和の期待値は、それぞれXとYの期待値の和をすれば良い。

ポイント
通常の手順であれば、2つの変数XとYを足して（謎に）から、確率分布の表を書いて、期待値を求める。
このような、めんどくさすぎる計算を公式によって省略できる点がポイント
→それぞれXの期待値、Yの期待値を別個に求め、それらを足し算すれば足りる。

確率変数XとYがそれぞれ独立といえる条件

たとえば、１回目に取り出した玉を元に戻して、２回目に取り出すという事象であれば、１回目が２回目に影響を及ぼさないので独立であるといえる。
逆に、元に戻さない試行であれば、１回目が２回目に影響を与えるので従属であるといえる。

確率変数XとYがそれぞれ独立であるとき、積の期待値と、和の分散

確率変数XとYがそれぞれ独立であれば、
XとYの積の期待値＝Xの期待値×Yの期待値 が成立する。
また、
XとYの和の分散＝Xの分散＋Yの分散 が成立する。

確率分布の表が簡単に書ける場合がある（二項分布）

もし反復試行の問題が出たら、
例えば、サイコロで4以上が出るか否か、コインで表が出るか否かなど、
確率が2パターンしかない。
しかも何回やるかがわかればC計算もわかる。

よって、反復試行の問題は、
（回数、確率）この2が分かれば、
確率分布の表が1つ定まり、簡単に書けるようになる。

例　確率変数 X が 二項分布 B（3、1/2）に従う、とわかれば、
3回→確率変数X＝0.1.2.3
p→4C0・1/2 4乗、4C1・1/2 3乗・1/2 1乗、〜
と確率分布の表が書ける

連続型確率変数

確率密度関数とは
もともと棒グラフ（Y軸に確率、X軸に階級値をとり、確率を棒グラフの面積で表現したもの）だったものを、
X軸の階級の幅を限りなく0に近づけると、棒グラフが曲線の関数になる。この関数を確率密度関数という。
そもそもの棒グラフの面積が確率を表しているので、積分で確率を求めることができる。

正規分布とは

正規分布とは
確率密度関数が下のエグい式で与えられる場合をさす

式＝〜
↑えぐい

この式をビジュアル化すると、
式中の期待値mは対象の軸を表し
式中の標準偏差σは期待値mからのばらつき度合いを表現するため山の形に影響を与える

特にキレイな富士山型の形になるものを、標準正規分布というN（m＝1、分散＝0）
m＝1→y軸が対象の軸
分散＝0→期待値からのばらつき度合いが0であるため富士山のキレイな形

正規分布（エグい式）を標準正規分布へ

正規分布のヒントが与えられている場合、確率（面積）を求めるには、エグい式を積分しなければならない

これを簡単にする方法が、標準化
標準化とは、標準正規分布の形 N(0.1)の形に変形することをさす。
標準正規分布にしてしまえば、積分計算をしなくても、教科書巻末にある表にまとめてあるので読み取るだけになる。

標準化の方法
（X➖期待値）➗標準偏差

★標準正規分布の問題テンプレート

二項分布と正規分布

二項分布はn（回数）を増やすと左右対称の形に近づく
正規分布はあのエグい式が出発点なので、そもそも左右対称に作られているもの

→回数が多い場合、二項分布に従う確率変数xを、正規分布に従うとみなして良い。

そのとき変換方法は、
二項分布B（回数n、確率p）とすると、正規分布はこのnとpを使って、
→正規分布N（期待値n✖️p、分散n✖️p✖️（1-p））
→標準正規分布を使いたいために、標準化を考えると
z＝（xー期待値）➗標準偏差

統計的な推測

母集団分布とは

基本的に今までと同じ。
＊母平均 m ≒期待値のこと。

標本平均とは、標本平均の期待値、分散、標準偏差

★標本平均とは
ある母集団から、標本を大きさｎ個として、無作為に抽出する。
これらの和を÷ｎしたものが、標本平均である。

例　テレビの視聴率
国民という母集団から、標本として大きさ１００（人）として、視聴率を無作為抽出する。
これら１００人の視聴率の和を求め、÷１００したものが標本平均。

★標本平均の期待値とは
標本平均の平均（期待値）をとるということ。
母平均と同じ値になる。

★標本平均の分散
平均なので、「母分散÷大きさｎ」で求められる。

★標本平均の標準偏差
分散をルートすれば良い。「母標準偏差÷√ｎ」

標本平均の分布と正規分布

標本平均Ｘは、母集団が正規分布に従っている場合や、母集団が正規分布に従っていない場合であっても大きさｎが大きいとき、正規分布Ｎ（期待値、分散）に従う。

母平均の推定

母平均 m に対して，信頼度 95% の信頼区間を求めることを，信頼度 95% で推定する，という。

★母平均ｍの求め方
正規分布より、95％で推定すると、1.96という数字を使う。
「標本平均±1.96×標本平均の標準偏差」で求められる。
＊標本平均の大きさｎが大きいときは、母集団の標準偏差ではなく、標本平均の標準偏差を使ってよい。

標本比率

仮説検定

★仮説検定の主な流れ
① 主張したい仮説 H1（対立仮説）に反する仮説 H0（帰無仮説）を立てる。
② H0 のもとで，標本調査の結果またはそれ以上に極端な結果が得られる確率を求める。
③ ②の結果が
有意水準以下（棄却域に入る）の場合 → H0 を棄却できる。よって，H1 が正しいと判断できる。
有意水準より大きい場合（棄却域に入らない） → H0 を棄却できない。よって，H1 が正しいとは判断できない。