0から始める大学入試数学シリーズです。プロ教師がお届けします。
教科書レベル《必ずマスターすべき典型問題》
新しい用語（平均変化率、微分係数）
平均変化率（変化の割合）は、傾きのこと。ｙの増加量÷ｘの増加量（＋ｈ）で求められる。
微分係数とは、ある点aからのｘの増加量ｈを、限りなく０に近づけたときの変化の割合をさす。その点aにおける接線の傾きを意味する。
【高校数学Ⅱ・公式一覧まとめ】微分法《平均変化率とは傾きのこと、微分係数とは接線の傾きのこと》
【高校数学Ⅱ・公式一覧まとめ】微分法《導関数の記号》
数学用語（平均変化率、微分係数）
《考え方と解き方》
平均変化率、微分係数の解き方
【高校数学Ⅱ・公式一覧まとめ】微分法《微分係数の定義を書き換える》
新しい用語（導関数、微分の計算公式）
微分係数 $ f'(a) $ ≒ 導関数 $ f'(x) $
「導関数」とは、ある点aがわからない場合があるため、微分係数のある点aをそのままｘに置き換えた式のこと。つまり、グラフ上のあらゆる点における接線の傾きを意味する。
「微分する」とは、導関数を求めること。
導関数、微分の計算問題
《考え方と解き方》
導関数、微分の計算公式
【高校数学Ⅱ・公式一覧まとめ】微分法《積の微分、指数・累乗の微分》
接線の方程式
直線は、①傾きと②通る１点がわかれば求められる。 $ y=a(x-p)+b $
①傾きについては、そもそもある点における接線の傾きが微分係数（≒導関数）なので、微分した式（導関数）に、ある点ｘ＝３を代入すれば求められる。
②通る１点については、接点で良い。
接線の方程式を求める問題
《考え方と解き方》
接線の方程式の求め方
接点がわからない場合
①接点を（a,f(a)）と置いて、aを使って接線の方程式をつくる
②通る点を代入して、aを求める。
接線の方程式を求める問題（接点がわからない場合）
《考え方と解き方》
接線の方程式を求める解法（接点がわからない場合）
【高校数学Ⅱ・公式一覧まとめ】微分法《共通接線の求め方》
【高校数学Ⅱ・公式一覧まとめ】微分法《２曲線が接したときの条件》
グラフの増減と極値
微分された式（導関数）は傾きを表すので、導関数の符合変化がわかると、グラフの形状もわかる。
グラフの増減の切り替えポイントを「極値」という。
増加から減少に切り替わるポイントを「極大」という。その値を「極大値」という。
減少から増加に切り替わるポイントを「極小」という。その値を「極小値」という。
＊二次関数が重解のとき、【プラス→０→プラス（単調増加）】【マイナス→０→マイナス（単調減少）】となるので、一瞬傾きが０になるが、それは増減の切り替えポイントとはいえず、極値なし。
＊二次関数が解なしのときも、単調増加（単調減少）となる。
グラフの増減と極値の問題
《考え方と解き方》
グラフの増減と極値の解き方
「極値をとる（持つ）」と言われたら
三次関数 $ f(x) $ が x=aで極値をとる
→ x=aのところで接線の傾きが０ $ f'(a) = 0 $ となる二次方程式の解ｘが２コ存在。
＊重解や解なしのときには単調増加（単調減少）で極値をそもそも持たない。
極値を持つヒント【暗記】
パート１
「極値をとる」というヒントがある問題
《考え方と解き方》
「極値をとる」というヒントがある問題の解き方
パート２
「極値をとる」というヒントがある問題②
《考え方と解き方》
「極値をとる」というヒントがある問題の解き方②
三次関数の最小値と最大値
三次関数の最小値と最大値を求める問題は、４つの値（変域の端点２つの値、極大値、極小値）をすべてチェックする。答案では、増減表でまとめて示すと良い。
＊注意：変域によって極大値が最大値になるとは限らないので、変域の端点もチェックする。
三次関数の最大と最小の問題
《考え方と解き方》
三次関数の最大と最小の問題の解き方
三次関数の実数解の個数
＊解の公式や判別式は二次方程式しか使えない。
三次関数の実数解の個数は、因数分解して解ければそれで良い。
もし因数分解できない場合、解の公式は使えないので、三次関数のグラフを書いてみて、Ｘ軸と何個交点を持つかを考えるしかない。
三次関数のグラフを書くためには、微分して極値などを求めていく。
【高校数学・公式一覧まとめ】3次方程式の実数解の個数
パート１（y＝０のグラフとの交点）
三次関数の実数解の個数（y＝０のグラフとの交点）の問題
《考え方と解き方》
三次関数の実数解の個数（y＝０のグラフとの交点）の解法
パート２（y＝aのグラフとの交点）【定数分離】
三次関数の実数解の個数（y＝aのグラフとの交点）【定数分離】の問題
《考え方と解き方》
三次関数の実数解の個数（y＝aのグラフとの交点）【定数分離】の解法
【高校数学Ⅱ・公式一覧まとめ】微分法《３次関数が極大値を持つ条件》
【高校数学Ⅱ・公式一覧まとめ】微分法《３次関数のグラフの対称性、変曲点》
微分と不等式の証明
微分するとグラフの傾きがわかり、グラフの概形がわかる。
これを証明に応用すると、（左辺）＝グラフ、（右辺）＝グラフと考えて、大小を比較できる。
具体的には、（左辺）-（右辺）を１つのグラフとして、（左辺）-（右辺）＞０を示せばよい。証明の仕方は「グラフより与式の不等式は証明された」。
微分と不等式の証明問題
《考え方と解き方》
微分と不等式の証明方法
応用問題
この応用問題が終わったら、教科書傍用問題集（４step問題集など）が解けます。
４step問題集でドリル感覚で知識を整理して、青チャートで網羅的な知識を押さえると完璧です。
あとは、模試や入試の過去問などに取組みましょう。
暇があるときに、youtube動画で日本トップレベルの知識を身につけましょう。使えるものは、自分のためにとことん使ってください。
テストで9割以上が取れるコツ
１、教科書に記載されている基本問題や公式の、根本的な理解からマスターする。
２、青チャートか、フォーカスゴールドをマスターする。
＊志望校によっては青チャートをやる必要はなく、教科書傍用問題集だけで足りる。
３、共通テスト過去問を解く
４、志望校の過去問を解く
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